热门试卷

（Ⅰ）证明：以的中点为原点，分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标，则

∴

∴即

又∵    ∴平面  ………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量，

且于是

设直线与平面所成的角为，则

故，直线与平面所成角的正弦值为

略

（1） 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，                                

又，平面，

∴平面.     …………2分

过作交于，则平面.

∵平面，

∴.            …………4分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴，                                        ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面.                            ………………………7分

∵平面,

∴.                             ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                              ……………………9分

取的中点，连结，

∵四边形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥

∴是二面角的平面角，   ………………………12分

由计算得

∴            ………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴两两垂直.   ……………………2分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.      …………………………4分

∴，，………6分

∴,    ………7分

∴.   …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则  …………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.  …………………………14分

略

（2）

(1)

,

(2)

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示

,与所成角为，

则

设,则,

,

设、的一个法向量分别为，则

由，

即，

解得

同理：由，解得

由题意：，

而

，化简并整理得：，

设的一个法向量分别为，则

由，即，解得

∴与平面所成角的大小为

（1）（2）（3）

（1）作PO⊥平面ABCD于O，则PO⊥AD，又∵PB⊥AD，

∴AD⊥平面POB，连OB交AD于E，则PE⊥AD，BE⊥AD，

得∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，

在边长为2正△PAD中，易得AE=，∴为所求；

（2）易证Rt△PAE≌Rt△BAE（直角边、斜边）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD与AB所成角即为PD与DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD与AB所成角大小为.

（3）取PB中点G及PC中点F，则GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF为所求平面角.由（2）所证知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.

解法2：建立如图坐标系,则,先证明及,从而知B,

G，A，C.然后由，如与所成的角即为所求平面角.∵，∴平面角.

注：（2）题中可由得.