热门试卷

（1）证明：对任意x1，x2∈R，当a＜0，

有[f（x1）+f（x2）]-2f（）=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a（）2+b（）+c]=ax12+ax22-a（x12+x22+2x1x2）=a（x1-x2）2             （3分）

∴当a＜0时，f（x1）+f（x2）≤2f（），即≤f（）

当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）

（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax2≤-x+1，

∴a≤-=（-）2-恒成立，∵x∈（0，1]，∴≥1，当=1时，（-）2-取到最小值为0，

∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．

由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）

（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）

令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=；

若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]2；          （14分）

若n＜0，n∈Z，则-n∈N*，∴f（n）===2n；∴x∈Z时，f（x）=2x．

综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2x；                                 （15分）

∵[20+21]=＞，所以f（x）不是R上的凸函数．                       （16分）

（对任意x1，x2∈R，有[f（x1）+f（x2）]=[2x1+2x2]≥×2=f（），所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）

（1）f′(x)=2x-，依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x2）min⇒a≤2.g′(x)=1-，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）

（2）f′(x)=2x-=，所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-在（0，1]上是增函数，即φ′(x)=2b+≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，

由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范围是[-1，1]．…（5分）

（3）h(x)=f′(x)-g(x)-2+=…=x+，

n=1时不等式左右相等，得证；

n≥2时，[h(x)]n-h(xn)=(x+)n-(xn+)=xn-2+xn-4+…+x2-n=[(xn-2+x2-n)+(xn-4+x4-n)+…+(x2-n+xn-2)]≥++…+=2n-2，

所以[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N*）成立．…（5分）

由log2（x+3）+log12x≤3得⇔⇔x≥，

即f（x）的定义域为[，+∞）．

∵f（x）在定义域[，+∞）内单调递减，

∴当x2＞x1≥时，f（x1）-f（x2）＞0恒成立，即有（ax1-+2）-（ax2-+2）＞0⇔a（x1-x2）-（-）＞0⇔（x1-x2）（a+）＞0恒成立．

∵x1＜x2，∴（x1-x2）（a+）＞0⇔a+＜0．

∵x1x2＞⇒-＞-，

要使a＜-恒成立，

则a的取值范围是a≤-．

（1）因为函数f（x）的定义域为（-1，1）且f（x）是奇函数，

所以f（0）=0，即f（0）==-b=0，解得b=0．

所以f（x）=．

（2）函数f（x）为减函数，证明如下

设-1＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=-==，

因为-1＜x1＜x2＜1，所以＜1，0，1+x1x2＞0，

所以f(x1)-f(x2)=＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）为减函数．