热门试卷

（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．

当n=1时，b1=S1=3．

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．

当n=1时上式也成立，

∴bn=2n+1（n∈N*）．

所以an=n+3，bn=2n+1．

（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，

由于f（n）=∴当k为正奇数时，k+27为正偶数

由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=．（舍）

当k为正偶数时，k+27为正奇数，

由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=．（舍）

因此，符合条件的正整数k不存在

（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤(1+)(1+)(1+)…(1+）．

设g（n）=(1+)(1+)…(1+）．∴=(1+)=×=．

又∵＜=2n+4，∴＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=(1+)=．∴0＜a≤．

（I）y=-4x+．由y'=x2-4=0，得x=±2．

因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，

当x∈（-2，2）时，y'＜0，

当x∈（2，+∞）时，y'＞0，

故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），

单调递减区间是（-2，2）．

（II）证明：（i）方法一：

令h(x)=f(x)-gt(x)=-t23x+t(x＞0)，则h′(x)=x2-t23，

当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t13，

当x∈(x13，+∞)时，h'（x）＞0，

所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t13)=0．

故当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立．

方法二：

对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=t23x-t(t＞0)，则h′(t)=t-13(x-t13)，

由h'（t）=0，得t=x3．

当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．

当t＞x3时，h'（t）＜0，

所以当t=x3时，h（t）取得最大值h(x3)=x3．

因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．

（ii）方法一：f(2)==gt(2)．

由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．

即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．

下面证明x0的唯一性：

当x0≠2，x0＞0，t=8时，f(x0)=，gx(x0)=4x0-，

由（i）得，＞4x0-，

再取t=x03，得gx03(x0)=，

所以gx(x0)=4x0-＜=gx03(x0)，

即x0≠2时，不满足gx（x0）≥gt（x0）对任意t＞0都成立．

故有且仅有一个正实数x0=2，

使得gx（x0）0≥gt（x0）对任意正实数t成立．

方法二：对任意x0＞0，gx(x0)=4x0-，

因为gt（x0）关于t的最大值是x03，所以要使gx（x0）≥gt（x0）

对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-≥x03，

即（x0-2）2（x0+4）≤0，①

又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，

所以有且仅有一个正实数x0=2，

使得gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．

（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．

又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．（2分）

因为y=f（x）=的定义域为R，所以方程yx2-x+by=0在R上有解．

当y≠0时，由△≥0，得-≤y≤，

而f（x）的值域为[-，]，所以=，解得b=4；

当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．（5分）

（2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=，

所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=；（6分）

当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）2=，

故g(x)=（9分）

②因为当x∈[0，3）时，g（x）=在x=2处取得最大值为，在x=0处取得最小值为0，（10分）

所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为与0．（11分）

（ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；（12分）

（ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间[0，]；（13分）

（ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，

且当x∈[3，6）时g（x）=值域为[-，0]，从而g（x）的值域为闭区间[-，]；（14分）

（ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=＜，得g（x）的值域为闭区间[0，]；（15分）

（ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由≤g（3n+2）=＜，从而g（x）的值域为闭区间[-，]．

综上知，当m∈[，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．（16分）

（1）由题意得f（x）的定义域为R，

且f(-x)===-=-f(x)，-------------（2分）

∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）

证明：（2）设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=-=．--------------------（6分）

当a＞1时，ax1-ax2＜0，得f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），

这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）

当0＜a＜1时，ax1-ax2＞0，得f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），

这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）