- 全称量词与存在性量词
- 共555题
下列命题的否定为假命题的是______．
①∀x∈R，-x2+x-1＜0；
②∀x∈R，|x|＞x；
③∀x，y∈Z，2x-5y≠12；
④∃x∈R，Tsin2x+sinx+1=0．
正确答案
①因为-x2+x-1=-（x-
②当x=0时，|x|=x=0，所以②错误．
③当x=1，y=2时，2x-5y=12，所以③错误．
④设t=sinx，则原方程为t2+t+1=0，因为△=1-4=-3＜0，所以方程无解，所以④错误．
故答案为：①．
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
（2）对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；
（3）∃T0∈R，使|sin（x+T0）|=|sinx|；
（4）∃x0∈R，使x\o\al(2，0)+1＜0．
正确答案
（1）、（2）是全称命题，（3）、（4）是特称命题．
（1）∵ax＞0（a＞0，a≠1）恒成立，∴命题（1）是真命题．
（2）存在x1=0，x2=π，x1＜x2，但tan0=tanπ，
∴命题（2）是假命题．
（3）y=|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题（3）为真命题．
（4）对任意x∈R，x2+1＞0，∴命题（4）是假命题．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-3|+|x+1|．
（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围；
（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，求实数a的取值范围．
正确答案
（I）∵f（-2）=6=f（4），∴由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4）．
（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，即a＞f（x）min．
由绝对值的几何意义知：|x-3|+|x+1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和．
∴f（x）min=4，即∴a＞4．
所求a的取值范围为（4，+∞）．
已知命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，求a的取值范围．
正确答案
因为命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，
x∈[1，2]时，x2+2x的最大值为8，
所以a≥-8时，命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题．
所以a的取值范围：[-8，+∞）．
写出下列命题的“￢p”命题：
（1）正方形的四边相等．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角．
（4）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0．
（5）若（x-1）（x-2）≠0，则x≠1且x≠2．
正确答案
（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的某个内角不是锐角．
（4）若abc=0，则a，b，c中都不为0；
（5）若（x-1）（x-2）≠0，则x=1或x=2．
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