- 全称量词与存在性量词
- 共555题
在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．
设f(x)=
①∃x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为______；
②若∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为______．
正确答案
①f（x）=
∴函数在[2，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（2）=3，
即实数m的取值范围是[3，+∞）；
②由①知，函数f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是[a2，+∞）
∵∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞）使得f（x1）=g（x2），
∴a2≤3
∵a＞1，
∴1＜a≤
故答案为：①[3，+∞）②(1，
给出命题：
①∀x∈（-∞，1），使x3＜1；
②∃x∈Q，使x2=2；
③∀x∈N，有x3＞x2；
④∀x∈R，有x2+4＞0．
其中的真命题是______（填序号）．
正确答案
解①函数y=x3在R上单调递增，∀x∈（-∞，1），x3＜13=1；正确
②方程x2=2的解只有无理数x=±
③存在x=0，使得03=02，故③为假命题
④x2+4≥4＞0，显然正确．
故答案为：①④
设不等式x2+|x|-2≤0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若命题“∀x∈M，ax3-3x+1≥0”为真，求实数a的值．
正确答案
（1）原不等式等价为（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因为∀x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，则1≥0恒成立，
若0＜x≤1，则a≥
则设f′(x)=
由f'（x）＞0，解得0＜x＜
所以当x=
若-1≤x＜0，则，a≤
当-1≤x＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数单调递增，
所以此时当x=-1时，函数取得最小值为f(-1)=
所以a=4．
已知命题p：∀x∈（1，+∞），log3x＞0，则￢p为______．
正确答案
命题“：∀x∈（1，+∞），log3x＞0”是全称命题，
否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．
故答案为：∃x0∈（1，+∞），log3x0≤0．
若命题“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围______．
正确答案
∵“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0
∴x2+（a-1）x+1=0有两个实根
∴△=（a-1）2-4≥0
∴a≤-1，a≥3，
所以命题“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．
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