双曲线
共3579题

双曲线
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题型：填空题

填空题

若双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

∵双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右焦点（c，0）到一条渐近线 y=x 的距离等于实半轴长，

故 =a，∴b=a，∴==，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

设连接双曲线-=1与-=1(a＞0，b＞0)的4个顶点的四边形面积为S1，连接其4个焦点的四边形面积为S2，则的最大值为______．

正确答案

设双曲线-=1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为(，0)；

设双曲线-=1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为(0，)．O为坐标原点．

则S1=4S△OAB=2ab，S2=4S△OCD=2（a2+b2），

所以=≤=．

故答案为．

题型：填空题

填空题

若双曲线-=1（a＞0）的一条渐近线方程为3x-2y=0，则a=______．

正确答案

∵双曲线-=1（a＞0）的渐近线方程是y=±x，

∴=，解得a=2．

答案：2．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-y2=1，P为C上的任意点．

（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

正确答案

（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，

该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．

点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，

它们的乘积是•==．

点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x-3）2+y2=(x-3)2+-1=(x-)2+

∵|x|≥2，∴当x=时，|PA|2的最小值为，

即|PA|的最小值为．

题型：填空题

填空题

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±2x，则此双曲线的离心率是______．

正确答案

∵双曲线的焦点在x轴上，

∴设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）

可得双曲线的渐近线方程是y=±x

结合题意双曲线的渐近线方程是y=±2x，得=2

∴b=2a，可得c==a

因此，此双曲线的离心率e==．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知双曲线x2-=1的一条渐进线与直线x-2y+3=0垂直，则a=______．

正确答案

根据题意，已知双曲线的方程为x2-=1，则a＞0；

双曲线x2-=1的渐进线方程为y=±x；

直线x-2y+3=0的斜率为，

若双曲线的一条渐进线与直线x-2y+3=0垂直，必有双曲线x2-=1的一条渐进线的斜率为-2；

即=2，即a=4；

故答案为：4．

题型：填空题

填空题

P是双曲线-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______．

正确答案

双曲线-=1中，

∵a=3，b=4，c=5，

∴F1（-5，0），F2（5，0），

∵|PF1|-|PF2|=2a=6，

∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|+|NF2|，

∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，

所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|-|NF2|

=6+1+2

=9．

故答案为：9．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为______．

正确答案

由双曲线焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，可知=，

则e====．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线的右焦点为F（3，0），且以直线x=1为右准线．求双曲线方程．

正确答案

由题意得，c=3且=1．

∴a2=3，∴b2=c2-a2=9-3=6，

又∵焦点在x轴上，

因此，所求的双曲线方程为-=1．

题型：填空题

填空题

过点P（2，1）的双曲线与椭圆+y2=1共焦点，则其渐近线方程是______．

正确答案

椭圆+y2=1的焦点坐标为（±，0），

∴P（2，1）到两焦点距离差的绝对值为-=2，

∴a=，

∵c=，

∴b==1，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．

故答案为：x±y=0．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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