双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•文昌校级期末）已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2=-4y的准线交于A，B，S△OAB=，则双曲线的实轴长（　　）

A2

B4

C2

D4

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，

∴==

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）．点M（3，m）在双曲线上．

（1）求双曲线方程；

（2）求证：•=0；

（3）求△F1MF2面积．

正确答案

解：（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．

∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．

∴双曲线方程为x2-y2=6．

（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），

∴•=（3+2）×（3-2）+m2

=-3+m2，

∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，

∴•=0．

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，由（2）知m=±．

∴△F1MF2的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．

解析

解：（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．

∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．

∴双曲线方程为x2-y2=6．

（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），

∴•=（3+2）×（3-2）+m2

=-3+m2，

∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，

∴•=0．

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，由（2）知m=±．

∴△F1MF2的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．

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题型：单选题

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单选题

双曲线的焦点坐标为（　　）

A（，0）

B（0，）

C（，0）

D（0，）

正确答案

C

解析

解：∵双曲线的方程为，

∴a2=4，b2=1，可得c==

由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）

故选：C

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题型：填空题

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填空题

已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线-=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，满足•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线离心率为______．

正确答案

+1

解析

解：由•=0，可得PF1⊥PF2，

∵|PF1|=|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，

∴|PF2|=（+1）a，|PF1|=（3+）a；

在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴4c2=4（+1）a2，解得e=+1

故答案为：+1．

1

题型：填空题

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填空题

设与的夹角为θ，=（3，3），2-=（-1，1），则cosθ=______．

正确答案

解析

解：设=（x，y），

故2-=（2x-3，2y-3）=（-1，1）x=1，y=2，

即b=（1，2），则•=（3，3）•（1，2）=9，||=3，|b|=，

故cosθ==

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线的方程是（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

D

解析

解：设双曲线方程为-=1．

将y=x-1代入-=1，整理得（b2-a2）x2+2a2x-a2-a2b2=0．

由韦达定理得x1+x2=，则==-．

又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，

所以双曲线的方程是．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为3，并且经过点M（-3，8），求双曲线的标准方程．

正确答案

解：∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C，离心率为3，并且经过点M（-3，8），

∴，

解得a2=1，b2=8，

∴双曲线C的标准方程为．

解析

解：∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C，离心率为3，并且经过点M（-3，8），

∴，

解得a2=1，b2=8，

∴双曲线C的标准方程为．

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题型：简答题

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简答题

设双曲线的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，F1、F2是左、右焦点，是双曲线上一点，且∠F1PF2=600，，又离心率为2，求双曲线的方程．

正确答案

解：不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=600由余弦定理得

m2+n2-2mncos60°=4c2②

∵

∴③

∵离心率为2

∴④

解①②③④a=2，c=4

∴b2=c2-a2=12

双曲线的方程为．

解析

解：不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=600由余弦定理得

m2+n2-2mncos60°=4c2②

∵

∴③

∵离心率为2

∴④

解①②③④a=2，c=4

∴b2=c2-a2=12

双曲线的方程为．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都与圆（x-c）2+y2=ac（c=相切，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：取双曲线的渐近线y=x，即bx-ay=0．

∵双曲线-=1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-c）2+y2=ac相切，

∴圆心（c，0）到渐近线的距离d=r，

∴=，化为b2=ac，

两边平方得ac=c2-a2，化为e2-e-1=0．

∵e＞1，

∴e=．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线C的离心率为2，则实数m的值为（　　）

A-1

B-2

C-3

D-4

正确答案

C

解析

解：因为曲线C是双曲线，

所以有：a2=1，b2=-m．

∴e====2，

∴m=-3．

故选C．

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