热门试卷

证明：（1）当n=1时，f（1）═34-8-9=64能被64整除，命题成立．

（2）假设当n=k时，f（k）=32k+2-8k-9能够被64整除．      

当n=k+1时，f（k+1）=32k+4-8（k+1）-9=9[32k+2-8k-9]+64k+64=9[32k+2-8k-9]+64（k+1）

∵f（k）=32k+2-8k-9能够被64整除，

∴f（k+1）=9[32k+2-8k-9]+64（k+1）能够被64整除．                    

即当n=k+1时，命题也成立．

由（1）（2）可知，f（n）=32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除，即f（n）=32n+2-8n-9是64的倍数．

（1）解：∵a1=1，4an+1=5an+，

∴a2=，a3=，a4=，

猜想an=；

证明如下：①n=1时，a1=1；

②假设n=k时，结论成立，则

n=k+1时，4ak+1=5ak+，

∴ak+1=ak+=+=．

即n=k+1时，结论成立，

由①②可知，an=；

（2）证明：∵an=，

∴==•＜•，

∴+…+＜+（++…+）=+（1-）＜2．

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）0=1，

故：左边=右边，

∴当n=1时，等式成立；（3分）

（2）假设n=k时，等式成立，即 12-22+32-42+…+（-1）k-1•k2=（-1）k-1•．（6分）

那么12-22+32-42+…+（-1）k-1•k2+（-1）k•（k+1）2

=（-1）k-1•+（-1）k•（k+1）2

=（-1）k（-k+2k+2）

=（-1）（k+1）-1

即当n=k+1时，等式也成立． （10分）

根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N+都成立． （12分）

解：由题意，a1=S1=1-a1，∴

a2=S2-S1=（1-2a2）-（1-a1），∴

猜想

用数学归纳法证明如下：

（1）n=1时，结论成立；

（2）假设n=k时，结论成立，即，

则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=[1-（k+1）ak+1]-[1-k•]，

∴

即猜想成立

∴成立．

解：∵an＞0，∴Sn＞0，由S1=（a1+），变形整理得S12=1，取正根得S1=1．

由S2=（a2+）及a2=S2-S1=S2-1得S2=（S2-1+），

变形整理得S22=2，取正根得S2=．同理可求得S3=．由此猜想Sn=．

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，上面已求出S1=1，结论成立．

（2）假设当n=k时，结论成立，即Sk=．

那么，当n=k+1时，Sk+1=（ak+1+）=（Sk+1-Sk+）=（Sk+1-+），

整理得Sk+12=k+1，取正根得Sk+1=．

故当n=k+1时，结论成立．

由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，Sn=成立．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即

13+23+33++k3+（k+1）3

=

∴n=k+1时，等式成立．

综合①、②原等式获证．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=，不等式成立；

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时不等式成立，即1+++…+＞成立，

则当n=k+1时，因为1+++…++…+＞+…+

又因为+…+＞＞=

所以1+++…+++…+＞

即当n=k+1时不等式成立

所以由①、②可知对所有 n∈N*原不等式成立；

证明：（ⅰ）当n=2时，32＞2+3原不等式成立；

（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即3k＞k+3，

则当n=k+1时，3k+1＞3k+9＞k+4，

所以当n=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

解：（1）由题意f（n）=（2n+7）•3n+9，

所以f（1）=（2×1+7）×31+9=36；

f（2）=（2×2+7）×32+9=3×36=108；

f（3）=（2×3+7）×33+9=10×36=360；

（2）由（1）可以猜想最大m=36，

下面用数学归纳法证明，

①当n=1时，f（1）=36，显然能被36整除；

②假设n=k时f（k）能被36整除，即（2k+7）•3k+9能被36整除，

那么，当n=k+1时，

[2（k+1）+7]•3k+1+9

=[（2k+7）+2]•3k•3+9

=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k+1-1）．

由假设可知（2k+7）•3k+9，能被36整除，

3k+1-1是偶数，∴18（3k+1-1）．也能被36整除，

由①②可知对任意n∈N*都成立．

所以最大的m值为36．