热门试卷

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P．

=（1，0，-2），=（-1，1，0），=．

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），

则，即，取=（2，2，1），

设直线PC与平面A1BC所成角为θ，

则sinθ====．

（2）设二面角P-A1C-B的平面角为α，由图可知为锐角，

∵sinα=，∴cosα==．

∵=λ（0≤λ≤1），

∴P（1，0，2λ）．

∴=（1，-1，2λ），=（1，0，2λ-2）．

设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），

则，即，

取=（2-2λ，2，1），

∴===．

∴=．

化简解得：λ2+8λ-9=0，0≤λ≤1，

解得λ=1．

证明：（Ⅰ）取AB的中点D，连结PD，CD．

∵AP=BP，∴PD⊥AB．

∵AC=BC，∴CD⊥AB．

∵PD∩CD=D，

∴AB⊥平面PCD．----（3分）

∵PC⊂平面PCD，

∴PC⊥AB，

又∵PC⊥AC，

∴PC⊥平面ABC-----（6分）

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．

设P（0，0，t）．---（8分）

∵|PB|=|AB|=2，

∴t=2，P（0，0，2）．----（9分）

取AP中点E，连结BE，CE．

∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，

∴CE⊥AP，BE⊥AP．

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．

∵E（0，1，1），，，

∴cos=．

∴二面角B-AP-C的余弦值为．

证明：（I）由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，

所以，PQ∥BE，PQ=，

又DC∥BE，DC=

所以，PQ∥DC

所以，PQ∥平面ACD   …（4分）

解：（II）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ

FQ∥AE，DF∥BC

∴∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角

（III）由线面平行的性质定理可得

平面ACD与平面ABE的交线与DC平行

∴∠CAB就是平面ACD与平面ABE所成锐二面角的平面角

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，

∴∠CAB=30°…（12分）

（Ⅰ）证明：∵二面角A-BD-C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD

∵AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD

∴AB⊥平面BCD

∵DC⊂平面BCD，∴AB⊥DC；

（Ⅱ）∵CB=2BD=2AB，△ABE是等边三角形，

∴E是BC的中点，

取BD中点G，连接EG，

作BF∥GE，且BF=GE，连接EF，AF，

∴四边形EFBG为平行四边形，

∴BF⊥BD，

∵AB⊥BD，

∴∠ABF为二面角A-BD-C的平面角，且BD⊥平面ABF，

∴BD⊥AF，

∵EF∥BD，

∴EF⊥AF，

∵AB=2，

∴Rt△AEF中，EF=BG=1，AE=2，

∴AF=，

△ABF中，BF=GE=，

∴cos∠ABF==，

∴二面角A-BD-C的余弦值为．