热门试卷

证明：（Ⅰ）  连结BD

∠BAD=∠ADC=90°，

AB=a，DA=，

所以BD=CD=BC=2a，

因为E为BC中点，

所以DE==AD，

因为AB=BE=a，DB=DB，

所以△DAB与△DEB为全等三角形

所以∠ADB=∠EDB，

所以△DA0与△DEO为全等三角形

所以在△DAE中，DE⊥AE，

即AE⊥BD…（3分）

又因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以AE⊥PD…（4分）

而BD∩PD=D，

所以AE⊥平面PBD…（5分）

因为AE⊂平面PAE，

所以平面PAE⊥平面PBD…（6分）

（Ⅱ） 以D为原点，分别以DA，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，

二面角D-PC-E，即二面角D-PC-B，

AD⊥平面DPC，平面DPC的法向量可设为=（1，0，0）…（7分）

设平面PBC的法向量为=（x，y，1）

所以，

而B（），C（0，2a，0），P（0，0，a），

=（-a，a，0），=（0，2a，-a），

即，

可求得=（，1）…（10分）

所以两平面DPC与平面DBC所成的角的余弦值

为cos＜，＞===…（12分）

解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，

∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，

∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，

又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．

同理可证，FH∥平面PAB．

又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，

∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．

∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．

又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，

∴PB⊥平面ABD，

∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；

（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，

∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，

∴BD，BA，BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP，

则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，-，0），D（，0，0），P（0，0，），

∴=（，-，0），=（0，0，），

设平面PBC的法向量为，

∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，

故=（1，1，0），

∵E，F分别是棱AD，PC的中点，

∴E（，，0），F（，-，），

∴=（0，，），

∴===-，

即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．

（1）证明：设D为AB中点，连接DC，DP，

∵AC=BC=，AB=2，

∴CD⊥AB，DC=1．

∵PA=PB，AD=DB，

∴PD⊥AB，

又CD∩PD=D，

∴AB⊥平面PCD．

∴PC⊥AB．

（2）解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz．其中AB∥x轴，

易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，

又PD=DC=1，

∴PO=，OD=．

则，A，C，P，

∴=（2，0，0），=．

设平面PBA的法向量为=（x，y，z），

则，即，

∴平面PBA的一个法向量=．

∵=（1，-1，0），=，

同理可求得平面CBP的一个法向量为=，

∴===．