- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（Ⅰ）若二面角A-BD-C为直二面角，求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）当异面直线AD，BC所成角为
正确答案
（Ⅰ）证明：∵二面角A-BD-C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AD⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AD⊥平面BCD
∵BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O为垂足，建立空间直角坐标系
∵AD=2，∴BC=1，BO=
设二面角A-BD-C的大小为θ，则A（-
∴
∵
∴
∵异面直线AD，BC所成角为
∴
∴cosθ=
∴二面角A-BD-C的余弦值为
解析
（Ⅰ）证明：∵二面角A-BD-C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AD⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AD⊥平面BCD
∵BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O为垂足，建立空间直角坐标系
∵AD=2，∴BC=1，BO=
设二面角A-BD-C的大小为θ，则A（-
∴
∵
∴
∵异面直线AD，BC所成角为
∴
∴cosθ=
∴二面角A-BD-C的余弦值为
（2012春•蚌埠校级月考）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=
正确答案
解析
∴直线A1D1就是面BD1C与面AD1D所成二面角的棱
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1⊥平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D
∴CD1⊥A1D1
结合DD1⊥A1D1，可得∠CD1D就是二面角C-A1D1-D的平面角
∵Rt△CD1D中，D1D=1，CD=AB=
∴tan∠CD1D=
即面BD1C与面AD1D所成二面角的大小为60°
故选：C
正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ，则θ的取值范围是（ ）
A（0，
B（
C（
D（
正确答案
解析
则∠AEC为二面角A-PB-C的平面角，且AE＜AB，CE＜CB
因为由勾股定理得，AC2=AB2+CB2，
所以AC2＞AE2+CE2，
在△AEC中，由余弦定理得，cos∠AEC=
∴∠AEC∈（
故选D．
两异面直线m，n分别垂直于二面角α-l-β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α-l-β的大小是______．
正确答案
60°或120°
解析
解：根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，
∵m，n所成的角为60°，
∴二面角α-l-β的大小是60°或120°．
故答案为：60°或120°．
（Ⅰ）求证：A1C∥面AB1D；
（Ⅱ）求二面角A-BE-C的大小．
正确答案
解析
∴面A1GC∥面AB1D
∵A1C⊂面A1GC
∴A1C∥面AB1D
（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°
∴CA⊥AB，CA⊥AA1且AB∩AA1=A
∴CA⊥面AA1B1B
∴过A作AF⊥BE垂足为F连接CF则由三垂线定理知∠AFC即为二面角A-BE-C的平面角
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，直线A1C与底面ABC所成的角为60°
∴∠A1CA=60°
∴在RT△A1AC中AC=2，A1A=ACtan60°=2
∴AE=
∴RT△BAE中AB=2，AE=
∵BE×AF=AB×AE
∴AF=
∴tan∠AFC=
∴∠AFC=arctan
即二面角A-BE-C的大小为arctan
P、Q分别是CC1、C1D1的中点．点P到直线AD1的距离为
（1）求证：AC∥平面BPQ；
（2）求二面角B-PQ-D的大小．
正确答案
解：如图1：设AD=a，则D到直线AD1的距离为
取DD1中点M，过M作MG⊥AD1，连接PM，PG
则M到直线AD1的距离MG=
∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD1A1
∴AD1⊥PM，又MG⊥AD1，
∴AD1⊥平面PMG
∴PG⊥AD1∴PG就是点P到直线AD1的距离
∴PG=
在Rt△PMG中，PM2=PG2-MG2，即4=
解得a=1，即AD=1
如图2：建立空间直角坐标系
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，
∴
（1）证明：设平面BPQ的法向量为
则
取其法向量为
∵
∴
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量为
由（1）知，平面BPQ的法向量为
∴cos＜
∴二面角B-PQ-D的大小为arccos
解析
解：如图1：设AD=a，则D到直线AD1的距离为
取DD1中点M，过M作MG⊥AD1，连接PM，PG
则M到直线AD1的距离MG=
∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD1A1
∴AD1⊥PM，又MG⊥AD1，
∴AD1⊥平面PMG
∴PG⊥AD1∴PG就是点P到直线AD1的距离
∴PG=
在Rt△PMG中，PM2=PG2-MG2，即4=
解得a=1，即AD=1
如图2：建立空间直角坐标系
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，
∴
（1）证明：设平面BPQ的法向量为
则
取其法向量为
∵
∴
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量为
由（1）知，平面BPQ的法向量为
∴cos＜
∴二面角B-PQ-D的大小为arccos
在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G，分别是线段PC，PD，DA的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD
（1）求证：平面PAB∥平面EFG．
（2）求证：AD⊥PC．
（3）求二面角G-EF-D的平面角的大小．
正确答案
（1）证明：∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴ED∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴EG∥平面PAB
∵EF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB；
同理FG∥平面PAB
又∵FG，EF⊂平面EFG，FG∩EF=F
∴平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：由已知可得CD⊥AP，AD⊥DC，面PDC⊥面ABCD，DC为交线
∴PD⊥面ABCD
∴PD⊥AD，
又∵PD∩DC=D
∴AD⊥面PDC，
∴AD⊥PC；
（3）解：由（2）可知PD⊥EF，GF⊥EF
∴∠DFG为所求
又∵DF=DG=1，PD⊥DG
∴∠DFG=45°．
解析
（1）证明：∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴ED∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴EG∥平面PAB
∵EF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB；
同理FG∥平面PAB
又∵FG，EF⊂平面EFG，FG∩EF=F
∴平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：由已知可得CD⊥AP，AD⊥DC，面PDC⊥面ABCD，DC为交线
∴PD⊥面ABCD
∴PD⊥AD，
又∵PD∩DC=D
∴AD⊥面PDC，
∴AD⊥PC；
（3）解：由（2）可知PD⊥EF，GF⊥EF
∴∠DFG为所求
又∵DF=DG=1，PD⊥DG
∴∠DFG=45°．
AAE=
B∠EAD为AE与平面ABD所成的角
CDE为点D到平面ABC的距离
D∠AED为二面角A-BC-D的平面角
正确答案
解析
解：由于DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，则△ABC为边长是
又由E为BC中点，则AE=
由于DE与平面ABD不垂直，故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角，故B错；
若DE为点D到平面ABC的距离，则DE⊥平面ABC，故∠AED为直角，而在三角形ADE中，∠ADE为直角，矛盾，故C错；
由于E为BC中点，则AE⊥BC，DE⊥BC，故∠AED为二面角A-BC-D的平面角，故D正确
故答案为 D
已知三棱锥A-BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=______．
正确答案
解析
在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，
根据三垂线定理可知，HE⊥BC，
所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角，则∠AEH=α，
由已知S△BCD=S2，三棱锥A-BCD的体积为V=
sinα=
所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为
故答案为
如图所示几何体为正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥B1-A1BC1后所得，点M为A1C1的中点．
（1）求证：CM∥平面A1BD；
（2）求二面角B-DM-C的余弦值．
正确答案
则O是AC的中点，
则∵M为A1C1的中点，
∴A1M∥OC，且A1M=OC，
即四边形OCMA1是平行四边形，
则CM∥OA1，
∵CM⊄平面A1BD，OA1⊂平面A1BD；
∴CM∥平面A1BD；
（2）建立以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴的坐标系如图；
设正方体的棱长为1，
则B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1，），
则M（
则
设平面BDM的法向量为
则由
令y=2，则x=-2，z=0，
即
设平面BDC的法向量为
则
令x=-2，则z=1，
即
则cos＜
即二面角B-DM-C的余弦值是
解析
则O是AC的中点，
则∵M为A1C1的中点，
∴A1M∥OC，且A1M=OC，
即四边形OCMA1是平行四边形，
则CM∥OA1，
∵CM⊄平面A1BD，OA1⊂平面A1BD；
∴CM∥平面A1BD；
（2）建立以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴的坐标系如图；
设正方体的棱长为1，
则B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1，），
则M（
则
设平面BDM的法向量为
则由
令y=2，则x=-2，z=0，
即
设平面BDC的法向量为
则
令x=-2，则z=1，
即
则cos＜
即二面角B-DM-C的余弦值是
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