函数的基本性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列满足，，()

（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

（1）若，则，

由，

得或，所以只需或.

所以实数的取值范围为∪. …………6分

（2）对任意成立的充要条件为.

必要性：由，解出；

（另解：假设，得，令，，可得：，即有.）

充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.

证明：（i）显然时，结论成立；

（ii）假设时结论成立，即，

当时，.

考察函数，，

① 若，由，知在区间上单调递增.由假设得.

② 若，对总有，

则由假设得.

所以，时，结论成立，

综上可知：当时，对一切，成立.

故对任意成立的充要条件是.

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≠5且n）和5个白球，红球编号为1,2…n。白球编号为1,2，…5：每次从中任取两个球，当两个球颜色不同时，则规定为中奖。

（1）若一次取球中奖的概率p，试求p的最大值及相应的n值；

（2）若一次取球中奖，且p取最大值，设取出的红球编号为a,白球编号为b；记随机变量x=|a-b|,求x的分布列.期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）每次从个球中任取两个，有种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，

所以一次取球中奖的概率为。且

即，当或时取等号，而

故的最大值等于及相应的的值为4

（2）由（1）知：袋中有红球4个，白球5个，

∴

随机变量的所有可能取值为

; ; ; ; ;

故X的分布列是：

∴ .

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点. 又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选A.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此. 故选B.

知识点

函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于

A

B

C

D3

正确答案

A,B,C,D

解析

椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，且不妨设m＞n，由，得，‍解得，选C

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m (m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

正确答案

解析

（1）∵CD＝，∴，

又∵PQ＝∴点，

则，解得

∴椭圆方程.（4分）

（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，

得可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）

而k1＋k2＝

（12分）

∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设双曲线方程为，又因为焦点为（0,6），则，选B。

知识点

函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以

的图象关于原点对称，即函数为奇函数，

由得

，

所以，

所以，即，

画出可行域如图，

可得=x+2y∈[0，12]，故选D。

知识点

函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

设函数f(x)=|x-1| +|x-a|,.

（1）当a =4时,求不等式f(x) 的解集；

（2）若对恒成立,求a的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析:（1）等价于

或或，

解得：或。

故不等式的解集为或， ……5分

（2）因为: （当时等号成立）

所以： ……8分

由题意得：，解得,∴的取值范围， ……10分

知识点

函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

在平面直角坐标系.x0y中，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为:

（1）求曲线l的直角坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A、B两点求|AB|的值

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）依题意………………3分

得：

曲线直角坐标方程为：.…………………5分

（2）把代入整理得：

………………7分

总成立，

，

………………10分

另解：

（2）直线的直角坐标方程为，把代入得：

………………7分

总成立，，

…………………10分

知识点

函数单调性的性质

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