热门试卷

（I），又，

四边形是平行四边形， 。

又平面，平面，

直线平面

（Ⅱ）过作于，连结

平面，，

是二面角的平面角。

，是的中点，。

在中， 

，即二面角的大小为60°

Ⅲ）过作于，

平面，平面平面，

平面且为点到平面的距离。

，

。

分析：（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC∥DB，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC∥平面AB1D；

（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB，根据三垂线定理得∠BEB是二面角B-AD-B的平面角．在Rt△BBE中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B-AD-B的大小为60°．

（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BBCC，即AF等于点A到平面BCB的距离．利用等边三角形计算出AF的长为 ，结合三角形BCB的面积等于 ，用锥体体积公式可以算出三棱锥C-ABB的体积．

解答：解：（1）∵CB∥CB，且BD=BC=BC，

∴四边形BDBC是平行四边形，可得BC∥DB．

又BD?平面AB1D，BC?平面ABD，

∴直线BC∥平面ABD

（2）过作于，连结

平面，，

是二面角的平面角。

，是的中点，。

在中， 

，即二面角的大小为60°

(3）过作于，

平面，平面平面，

平面且为点到平面的距离。

，

。

点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．

点到平面的距离为

如图，建立空间直角坐标系，

易得，．

故，

设是平面的法向量，

令，得，

则．

故点到平面的距离为．

（1）

（2）a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1)

解：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设a＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1).

（I）B的坐标是；点D的坐标是；点P的坐标是；

（II）异面直线AB与PC所成的角是；

（I）是AC的中点，且AC=AB=BC=2，，于是，点B的坐标是；又平面轴，且平面与二面角两个面的交线分别是、，就是二面角的平面角，于是且，又，，，

所以，点D的坐标是即；

点P的坐标是即；

（II），，， 

所以，异面直线AB与PC所成的角是；

（1）要证明线面垂直可以借助于向量法来得到也可以利用线面垂直的判定定理来得到。

（2）

试题分析：解：如图：以点D位坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系……2分

（1），

  1分

  3分

又

，  5分

（2）

由（1）可知平面ADE的法向量  6分

  8分

设与平面所成的角为

与平面所成的角的余弦值为  10分

点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于基础题。

（1）见解析（2）·a

(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)

(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．

证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．

∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），

∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，

∴⊥ ，

同理⊥，

而与不共线且相交于点A，

∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，

∴平面EFG∥平面ACB1；

又因为⊥平面EFG，所以⊥，

则·=0， 

即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，

化简得 xE－yF=0；

同理   xE－zG="0, " yF－zG=0，

易得  ==，

∴ △EFG为正三角形．

(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，

∴=

= ·sin600

= (·a)2·

=·a2 ．

此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，

所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

d = ==·a．

(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)

（1）见解析（2）

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．

（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）

于是，={－a，a，0}

设与的夹角为θ，则由

cosθ=

AE与CD所成角的余弦值为．

评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．

存在使得

解：假设成立．

，

．

解得

所以存在使得．理由即为解答过程．

(I)先证  (II)

试题分析：（1），

平面，

又平面，

又，

平面。

（2）如图建系，则，，，

∴,

设平面法向量为

则   ∴  ∴

∴

又∵

∴

∴，

∴与平面所成角的大小.

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．

（1）

（2）根据题意，关键是能根据向量法来得到即可。

（3）对于题目中，则可以根据线面垂直的判定定理来的得到。

试题分析：解(1)如图建立空间直角坐标系

         4分

（2） 

而 

平面  8分

（3） 

又                 

平面.             12分

点评：主要是考查了运用向量法来求解长度以及平行和垂直的证明的运用，属于基础题。