热门试卷

证明：如图建立空间直角坐标系，

则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）

＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）

　　　设，，（、、     ，且均不为0）

设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，

  由      可得     即   

解得：＝（1，1，－1）

   由     可得     即   

解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，

所以平面A1EF∥平面B1MC．  

略

（Ⅰ）

（Ⅱ）

② ③       

（Ⅰ）如图所示：

C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

………………………………………………………5分

（Ⅱ）①

……………………………………………………………………………8分

②,

，

③；        ……………………………………14分

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）

试题分析：（1） 证明：连接，

因为，,所以∥,

因为面，面，所以∥面.

（2）作，分别令为

轴，轴，轴,建立坐标系如图

因为，，所以，、

所以，，，，

设面的法向量为,所以，

化简得，令，则.

设，则

设直线与面所成角为，则

所以，则直线与面所成角的正弦值为 .

点评：（1）线面关系的证明主要是应用线面平行与垂直的判定定理或性质，具体问题中要是能够根据题意适当做辅助线；（2）空间中角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的

（1）见解析     (2) .      

(1)本小题可以取CD的中点O，连接OF，AO，证明即可.

(2)因为AC=CD，取AD中点H，连CH，因为平面，知CH面ABED，

所以四棱锥C-ABED的高确定

（1）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF//DE，  2分

AC=AD，AOCD   DE平面ACD DECD     

OFCD，又      CD平面AOF         

AF平面AOF      AFCD．           8分

(2) 取AD中点H，连CH 知CH面ABED  CH＝    10分

.        12分

以所在直线分别为轴，轴，轴建系

则

---------------1分

（Ⅰ）

∴  ∴--------------4分

（Ⅱ）∵   ∴，设平面的一个法向量为，

，

令则，，∴-----------------------6分

设平面的一个法向量为

,

  ∴-----------------8分

-----10分  

∴ 

略

略

解：（1）证明略 （2）

略

（1）见解析；（2）；（3）.

（1）通过面面垂直找到与底面垂直的线SO，然后建立空间直角坐标系，利用向量法证明两条直线垂直；（2）利用向量法把直线与平面所成的角转化为已知直线向量与平面法向量的夹角，利用数量积知识求解夹角即可；（3）先求出两个平面的法向量，然后把二面角的大小问题转化为求两法向量的夹角问题。

证明：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平

面． 因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，

为轴正向，建立直角坐标系 

，，，，，

，

，…所以．………………………4分

（2）取中点，，

连结，取中点，连结，．

，，．

，，

与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．

，所以 ，……………8分

（3）由上知为平面SAB的法向量，。易得

,

同理可求得平面SDA的一个法向量为 ………10分

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为。………12分

（1）

（2）证明见解析。

以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

（1）依题意得出

∴﹤﹥=

（2）证明：依题意将

面与面所成二面角的正切值为

建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

延长交轴于点，易得，

作于点，连结，

则即为面与面所成二面角的平面角．

又由于且，得，

那么，，

从而，

因此．

故面与面所成二面角的正切值为．

（1）（2）证明见解析（3）．

（1），

，同理．

是平面的法向量．

（2）设平行四边形的面积为，与的夹角为，

则．

结论成立．

（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，

则，

又，

．

（1）略  （2）A1到面BDD1的距离为 （3）D1-EC-D的大小为

(I) 要证BD1//平面A1DE，只要证明BD1平行该面内的一条直线，取中点，由中位线可证得；(II)等积法求高；(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。

解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．

∵ E为中点，∴ EF//BD1．又EF面A1DE，BD1面A1DE，

∴ BD1//面A1DE．……………3分

（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，

∴ ，，

设A1到面BDD1的距离为d，则由有

，即，解得 ，

即A1到面BDD1的距离为．……………………………………………8分

（III）连结EC．由，有，，

过D作DH⊥EC于H，连结D1H，由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD，

∴DD1⊥面ABCD．由三垂线定理知：D1H⊥EC，∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角．

Rt△EBC中，由，BC=1，得．又DH·EC=DC·BC，代入解得，

∴在Rt△DHD1中，．∴，即二面角D1-EC-D的大小为．…………12分

解法二：（I）同解法一．………………3分

（II）由面ABCD⊥面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．

于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，

∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．设面BDD1的一个法向量为n1，

则 即 ∴．

∴ 点A1到面BDD1的距离．  …………………………8分

（III）由（II）及题意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．

设面D1EC的一个法向量为，

则  即可得．

又易知面DEC的一个法向量是(0，0，1)，

设D1-EC-D的大小为θ，则，得．

即D1-EC-D的大小为