热门试卷

（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.

  以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.（如图所示）.

设棱长为1，则A（1，0，0），M(1，1，)，N（0，，1）.

∴=（0，1，），=(-1，，1).

设平面AMN的法向量n=（x，y，z）

∴

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=（-3，2，-4）.

∴（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.

（1）详见解析；（2）平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为．

试题分析：（1）求证:平面；利用线面平行的判定定理，证明线面平行，即证线线平行，可利用三角形的中位线，或平行四边形的对边平行，本题由于是的中点，可连接交与点，连接，利用三角形中位线的性质，证明线线平行即可；（2）求平面与平面夹角的余弦值，取中点，则平面，则两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

试题解析：(1)连接AB1交A1B与点E，连接DE，则B1C∥DE，则B1C∥平面A1BD4分

(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,

又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,

建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,,0),A1(-1,0,3)

设平面A1BD的一个法向量为,

取，则，     8分

设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ，平面DBB1的一个法向量为，         10分

则

∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为．    12分

（1）证明详见解析；（2）.

试题分析：(1)证明平面内的直线垂直平面内的两条相交直线，即可证明平面平面；(2)为方便计算，不妨设，先以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面和平面的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.

试题解析：(1)底面，所以               2分

底面是正方形，所以                   4分

所以平面又平面

所以平面平面                        5分

（2）证明：点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设

由题意得，,            6分

，又

设平面的法向量为，则

，令，则，          8分

，

设平面的法向量为，则

，令，则           10分

设二面角的平面角为，则.

显然二面角的平面角为为钝角，所以

即二面角的大小为                 12分.

（1）详见解析，（2）.

试题分析：（1）已知条件为面面垂直，因此由面面垂直性质定理转化为线面垂直. 作，由侧面底面，得平面.证明线线垂直，有两个思路，一是通过线面垂直转化，二是利用空间向量计算.本题考虑到第二小题，采取空间向量方法. 利用空间向量以算代证，关键正确表示各点及对应向量的坐标，利用空间向量数量积进行论证.（2）利用空间向量求线面角，关键正确求出平面的一个法向量，利用两向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值的等量关系进行求解.

试题解析：（1）作，垂足为，连结，

由侧面底面，

得平面   ..2

因为，所以   3

又，为等腰直角三角形，     4

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系.

，，，，    6

，，，所以    8

（2）设为平面SAB的法向量

则  得     所以

令x=1                        10

              12

与平面所成的角与与所成的角互余．

所以，直线与平面所成的角正弦值为           13

（I）（II）

试题分析：（I）如图1，作PO⊥AC，垂足为O，连结OB，

由已知得，△POC≌△BOC，则BO⊥AC。

，

∵平面PAC⊥平面BAC，∴PO⊥平面BAC，∴PO⊥OB，

（II）方法1：如图1，作OD⊥AB，垂足为D，连结PD，由三垂线定理得，PD⊥AB。

则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。

二面角P—AB—C的大小为 

方法2：如图2，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系

O—xyz，则

令 

又为面ABC的法向量。  

易知二面角P—AB—C的平面角为钝角，

故二面角P—AB—C的大小为 

点评：第二问求二面角分别用了几何法（作出二面角平面角，计算大小）和向量法（建立坐标系，写出相关点的坐标，找到两面的法向量，通过法向量的夹角找到二面角）

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角为．

试题分析：（Ⅰ）证明：直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，本题虽有中点，但没直接的三角形，可考虑用平行四边形的对边平行，可取ＯＤ的中点Ｇ，连结ＣＧ，ＭＧ，证明四边形为平行四边形即可，也可取中点，连接，，利用面面平行则线面平行，证平面平面即可．也可利用向量法，作于点P,如图,分别以，所在直线为轴建立坐标系，利用向量与平面的法向量垂直，即数量积等于零；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小，分别写出异面直线与对应向量的坐标，由向量的夹角公式即可求出．

试题解析：方法一（综合法）

（Ⅰ）取中点，连接，　　　

又   　　　　 

（Ⅱ）

为异面直线与所成的角（或其补角），

作连接 ， ，,,

， ,  

所以 与所成角的大小为 

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以，所在直线为轴建立坐标系.

,

,

(Ⅰ)，

设平面的法向量为,则 

即 ， 取,解得

..

(Ⅱ)设与所成的角为, 

，   , 即与所成角的大小为.

（Ⅰ）由D、E分别为AB、AC中点，得DE∥BC ．可得DE∥平面PBC    

（Ⅱ）连结PD，由PA=PB，得PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，推出DE ⊥ AB．

AB⊥平面PDE，得到AB⊥PE ．

（Ⅲ）证得PD平面ABC 。

以D为原点建立空间直角坐标系。

二面角的A－PB－E的大小为．

试题分析：（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，\DE∥BC ．

DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，∴DE∥平面PBC    

（Ⅱ）连结PD， PA=PB， PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB， DE ⊥ AB．又AB⊥平面PDE，PEÌ平面PDE，AB⊥PE ．                      6分

（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，

 PD平面ABC．           7分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,

 =(1,0, )， ="(0," , ）．

设平面PBE的法向量，

令     得．

DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量为．

设二面角的A－PB－E大小为

由图知，，，

二面角的A－PB－E的大小为．

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用空间向量，简化了证明及计算过程。

(1) AC1的长为 (2) AC与BD1夹角的余弦值为

记=a，=b，=c，

则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

∴a·b=b·c=c·a=.

（1）||2=（a+b+c）2

=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a）

=1+1+1+2×(++)=6,

∴||=,即AC1的长为.

(2)=b+c-a,=a+b,

∴||=,||=,

·=（b+c-a）·（a+b）

=b2-a2+a·c+b·c=1.

∴cos〈,〉==.

∴AC与BD1夹角的余弦值为.

解法一:（1）在平面内作交于，连接.…………1分

　又，　

　　，　　。        

取为的中点，则         …………4分

在等腰中，， 

在中，，  ……4分

在中，，   …5分

                       …………8分

（2）连接，

由，知：.

又，

又由，.

又,

又是的中点,

,

,,

为二面角的平面角                …………10分

在等腰中，，

在中，，

在中, .           …………12分

                     …………14分

解法二：在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）       …………1分

则

为中点，      …………2分

设 .

 即，.      …………6分

所以存在点 使得 且.      …………8分

（2）记平面的法向量为,则由，，且，

得， 故可取          …………10分

又平面的法向量为.                    …………11分

.                    …………13分

二面角的平面角是锐角，记为，则 …………14分

略

以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，，，；，，，，，      

设平面法向量为，而，，

所以，可得一个法向量=，

设面的一个法向量为，

则，      

即，又因为点在棱上，所以.

以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，分别求出平面C1PQ法向量和面C1PQ的一个法向量，然后求出两法向量的夹角，建立等量关系，即可求出参数λ的值．

(1)，

GM与的交点为H，联结BH，如图所示．……1分

∵是正方体，G、N是中点，

∴，即ABGN为平行四边形．

∴BG||AN，所成的角．……………………3分

又正方体的棱长为a，可得，

．∴． ………5分

∴．…………6分

(2)∵

∴．8分

∵，∴．

∴的高．

略

(1)证明略 (2)

（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），

F（，2，0），D1（0，0，4），

B1（2，2，4）.

=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），

∴·=0，·=0.

∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，

∴EF⊥平面BDD1B1.

又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.

（2） 由（1）知=（2，2，0），

=（-，，0），=（0，-，-4）.

设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)

则n⊥,n⊥

即n·=（x，y，z）·（-，，0）=-x+y=0，

n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，

令x=1,则y=1,z=-,∴n="(1,1,-" )

∴D1到平面B1EF的距离

d===.