- 空间向量与立体几何
- 共9778题
已知为锐角△
的外心,
若=
+
,且
,求
的值.
正确答案
如图,
设=
+
,则
过作
⊥
于
,则
所以
在△中,
从而,所以
已知A(-1,-2,1)、B(2,2,2),点P在z轴上,且d(P,A)=d(P,B),则点P的坐标为___________.
正确答案
(0,0,3)
∵P在z轴上,∴设P点坐标为(0,0,z).又∵|PA|=|PB|,∴利用距离公式得z=3.
已知向量,
,其中
,则
的夹角能成为直角三角形内角的概率是
正确答案
此题考查向量垂直的知识
由题意知: 一共有
种可能,满足条件的
种可能,
答案
如图△ABC为正三角形,边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆.
(1)若,求
;
(2)PQ为圆A的任意一条直径,求的最大值.
正确答案
(1)(2)3
(1) ;
(2)
(其中为
的夹角)
所以=0时,
取最大值3.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.
正确答案
以A为原点建立平面直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),∴
=(0,1,-1),
=
,
设平面A1ED的法向量为n1=(1,y,z),
则∴
∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos〈n1,n2〉=
=
.即所成的锐二面角的余弦值为
.
是△
的重心,且
,求∠
正确答案
由,可知
所以
不妨设,则
,∠
已知A、B、C三点不共线,M、A、B、C四点共面,则对平面ABC外的任一点O,有=
+
+t
,则t=______.
正确答案
由题意由题意A、B、C三点不共线,M、A、B、C四点共面,则对平面ABC外的任一点O,有=
+
+t
,
∴可得+
+t=1,解得t=
故答案为
已知|a|=|b|=2,,则a 与b的夹角为______
正确答案
试题分析:根据题意,由于|a|=|b|=2,,那么可知
,故可知向量a,b的夹角为
故可知a 与b的夹角为
。
点评:主要是考查了向量的数量积的性质的运用,属于基础题。
已知向量=(cosx + sinx,sinx),
=(cosx - sinx,2cosx),设f(x)=
•
. ①求函数f(x)的最小正周期;
②当x∈[]时,求函数f(x)的最大值及最小值.
正确答案
(1) (2) f(x)有最大值
;f(x)有最小值-1.
①∵f(x)=•
=(cosx + sinx)•(cosx – sinx)+ sinx•2cosx
=
=.
∴f(x)的最小正周期T=
②∵,∴
,
∴当,即
时,f(x)有最大值
;
当,
时,f(x)有最小值-1.
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,
=b,
=c,则
=________.
正确答案
-a+
b+c
=
+
=
+
=-
a+
b+c.
如图6,在三棱柱中,△ABC为等边三角形,侧棱
⊥平面
,
,D、E分别为
、
的中点.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面;
(Ⅱ)求BC与平面所成角;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
正确答案
(Ⅰ)设中点为F,连结AF,EF,
,
而,
四边形
为平行四边形,
,
················ 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, ,过
,
,
8分
(Ⅲ)
略
过点且一个法向量为
的直线的点法向式方程为___________
正确答案
略
直线l的方向向量为=(-1,1,1),平面π的法向量为
=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为___________.
正确答案
.
试题分析:若直线l∥平面π,则,而
,解得
.
已知空间三点,则以AB,AC为边的平行四边形的面积____
正确答案
,则向量
在
方向上的射影为
,而
,所以
边上的高
,故以
为边的平行四边形的面积为
已知三点共线,O为这条直线外一点,存在实数
,使
成立,则点
分
的比为___________.
正确答案
由题意知,
分
的比为
.
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