- 古典概型
- 共2558题
某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位：cm）
（1）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值．
（2）在身高为140-160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150-160之间的概率．
正确答案
（1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5
所以中位数的估计值为162.5．
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，
（2）这20名学生中，身高在140-150之间的有2个，分别为A，B，身高在150-160之间的有6人，
从这8人中任选2个，有
两个身高都在140---150之间的选法有1种选法，
所以至少有一个人在150-160之间的选法有28-1=27，
故至少有一人的身高在150-160之间的概率为
某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：
（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是
正确答案
（1）从12人中抽取2个的所有选法有
记：“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则A包含的结果有
∴P（A）=
（2）由题意可得，每人选择C的概率为1-2×
则ξ～B（3，
∴P（ξ=k）=
∴Eξ=3×
（1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒．当你到达路口时，求不是红灯的概率．
（2）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∝）上是增函数的概率．
正确答案
（1）基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的时间分别为30秒、5秒和40秒，设它们的概率的分别为P1，P2，P3，
所以不是红灯的概率P=1-P1=1-
（2）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=
要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且
若a=1则b=-1，
若a=2则b=-1，1；
若a=3则b=-1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
袋中有大小、性状相同的红、黑球各一个，现在放回地随机摸3次，每次摸取一个球，并根据摸出球的颜色记录的分，设摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分．
（Ⅰ）试写出摸出球的颜色所有可能的情况（有顺序）
（Ⅱ）求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
正确答案
（Ⅰ）摸出球的颜色所有可能的情况有8种：
（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）．
（Ⅱ）记“3次摸球得分不小于5分”为事件A，
则A={（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）}，共4种，
∴P（A）=
故3次摸球所得总分不小于5分的概率是
某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和：等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率
（2）求中奖概率．
正确答案
从袋中同时抽两个小球共有
（0，1）（0，2）（0，3）（1，2）（1，3）（2，3）六中情况
（1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况
∴P(A)=
（2）设抽出两球的号码为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，
由上知P(B)=
∴中奖概率概率为P=P(A)+P(B)+P(C)=
已知函数f（x）=ax2-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；
（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
正确答案
（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2，3}中任一元素
∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．
当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）
即A包含的基本事件数为3．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=
（2）∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，
其面积SM=6-
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）=
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x-y|＞10”的概率．
正确答案
（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率为 1-10（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．
故第四个小矩形的高为
（2）由于这次考试的及格的频率为10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率为0.75．
由频率分布直方图可得平均分为 0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．
（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的学生有40×0.05=2人，记取出的2个人的成绩为x，y，
“|x-y|＞10”说明选出的2个人一个成绩在[40，50）内，另一个在[50，60）内，
故满足“|x-y|＞10”的选法有 4×2=8种，而所有的取法有 
故满足“|x-y|＞10”的概率等于 
某校高一、高二、高三3个年级共有学生440名，其中高一学生160名，高二学生180名，为了解学生身体状况采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有9名．求：
（I）抽取的样本中共有多少名学生：
（II）该样本中高三学生人数是多少？
正确答案
（I）设样本中共有x名学生，则由题意可得 
故抽取的样本中共有22名学生．
（II）高三年级学生数为：440-160-180=100，设抽取的样本中高三学生y个人
由
∴样本中高三学生5人．
如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数．
（Ⅰ）从甲、乙两组中各随机取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；
（Ⅱ）甲组中有两名同学约定在早上7点到8点之间到达车站一同去植树，且在车站彼此等候40分钟，超过40分钟，则各自到植树地点再会面．求他们在车站会面的概率．
正确答案
（1）由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11，
乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，
其中满足这两名同学的植树总棵数为19的情况有 2+2=4种，
这两名同学的植树总棵数为19的概率等于
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|7≤x≤8，7≤y≤8}
事件对应的集合表示的面积是s=1，
满足条件的事件是A={（x，y）|7≤x≤8，7≤y≤8，|x-y|≤
事件对应的集合表示的面积是1-2×
根据几何概型概率公式得到P=
某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：
（1）求分数在[50，60）的频率及全班的人数；
（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．
正确答案
（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为25．
（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4，
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为425÷10=0.016
（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4[90，100）之间的2个分数编号为5，6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4）（3，5），（3，6）（4，5），（4，6），（5，6）
其中至少有一份在[90，100]之间的基本的事件有9个，
所以至少有一份在[90，100]之间的概率概率为
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