热门试卷

（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，

∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），

∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），=(-a，b)，

∵=3且•=4，

∴，

解得点P的轨迹M的方程为+y2=1．

（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，

联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴•=（x1-2）（x2-2）+y1y2

=（1+k2）（x1-2）（x2-2）

=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]

=（1+k2）（-+4）

=

=+，

∴当k2→∞•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．

∴•的取值范围是（，1]．

（1）圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，

设动圆P半径为R．

∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3

动圆P与圆M外切，则PM=1+R，

动圆P与圆N内切，则PN=3-R，

∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．

∴P是以M、N为焦点的椭圆．

∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，

∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，

∴b2=a2-c2=4-1=3，

∴C的方程为+=1（x≠2）；

（2）证明：联立，得（k2+3）x2+2kmx+m2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=-，x1x2=，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=k2•+km•(-)+m2

=．

设右顶点S（2，0），

则=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，

又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，

∴•=0，

即（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0．

∴-2•(-)+4+=0，

整理得：（m-k）（m+2k）=0，

∴k=m或k=-．

当k=m时，直线l为y=mx+m=m（x+1），直线过定点（-1，0）；

当k=-，直线l为y=-x+m=m(-+1)，直线过定点（2，0），不合题意．

∴直线l过定点（-1，0）．

（1）证明：由题意知，直线l的方程为+=1，

即bx+ay-ab=0．

曲线C的方程配方得（x-1）2+（y-1）2=1，

∴直线l与圆C相切的充要条件是1=，

整理得ab-2a-2b+2=0，

即（a-2）（b-2）=2；

（2）设AB的中点为M（x，y），

则由中点坐标公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得

（2x-2）（2y-2）=2，

即 （x-1）（y-1）=（其中x＞1，y＞1），

∴线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=（其中x＞1，y＞1）．

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．

由y=x2，①

得y'=x．

∴过点P的切线的斜率k=x1，

∴直线l的斜率kl=-=-，

∴直线l的方程为y-x12=-（x-x1），②

联立①②消去y，得x2+x-x12-2=0．

∵M是PQ的中点

∴x0==-，y0=x12-（x0-x1）

消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）．

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．

分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为P'、Q'，则+=+=+．

由y=x2，y=kx+b消去x，得y2-2（k2+b）y+b2=0．③

则y1+y2=2（k2+b），y1y2=b2．

∴+=|b|（+）≥2|b|=2|b|=2．

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴+的取值范围是（2，+∞）．