- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，则a=______．
正确答案
解析
解：函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）是一个偶函数，
又函数f（x）=x2+a|x|+a2-3（a∈R）的零点有且只有一个
所以函数的零点一定是x=0，（若不是零，则至少有两个，此可由偶函数的对称性得）
故有f（0）=a2-3=0，解得a=±
当a=-
∴a=
故答案为
函数f（x）=
正确答案
解析
解：令f（x）=0，
∴
令g（x）=
画出函数g（x），h（x）的图象，
如图示：
函数g（x），h（x）的图象有4个交点，
∴函数f（x）有4个零点，
故选：B．
已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+3）=f（x+1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）-log5x（x＞0）的零点个数是______．
正确答案
4
解析
解：由题意，数y=f（x）的周期为2，
函数y=f（x）-log5x（x＞0）的零点个数可化为
函数y=f（x），与函数y=log5x图象的交点个数；
作函数y=f（x）与函数y=log5x的图象如下，
由图象可知，有4个交点，
故函数y=f（x）-log5x（x＞0）的零点个数是4；
故答案为：4．
函数f（x）=sinx-a在区间[
正确答案
解析
解：作函数y=sinx在区间[
从而可得，sin
即
故答案为：
设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|cos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-
正确答案
解析
解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数
∵f（x）=f（2-x）
∴f（-x+2）=f（-x）
∴f（x）=f（x+2）
∴f（x）是周期函数，周期为2
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x3
∴当x∈[-1，0]]时，f（x）=-x3
∴x∈[1，
对于g（x）=|cos（πx）|
∵g（-x）=g（x），
∴g（x）是偶函数
当x∈[-
∴cosπx＞0，
∴g（x）=cos（πx），
当x∈[
∴cosπx＜0，
∴g（x）=-cos（πx）
在同一坐标系内画出函数f（x）和g（x）在[-
观察交点个数为5个
∴h（x）=g（x）-f（x）在[-
点个数有5个．
故答案为：A．
若函数f（x）=2|x-3|-logax无零点，则a的取值范围为______．
正确答案
（3，+∞）
解析
解：函数f（x）=2|x-3|-logax的零点，即为2|x-3|-logax=0的解的问题
问题转化为2|x-3|=logax
记f（x）=2|x-3|，g（x）=logax
在同一坐标系里作出它们的图象：
若y=g（x）的图象恰好经过y=f（x）的最小值的点A（3，1）时，它们恰好有一个公共点
此时，g（3）=1，得到a=3，
说明函数f（x）=2|x-3|-logax无零点，可得g（3）＜1
解之得，a＞3
故答案为：（3，+∞）
己知函数f（x）=ex-x-1
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：
（Ⅱ）若方程f（x）=a，在[-2，ln 2]上有唯一零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对任意x≥0，f（x）≥（t-1）x恒成立，求实数t的取值范闱．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=ex-x-1，
∴f′（x）=ex-1．…（1分）
∴f′（1）=e-1，f（1）=e-2，
∴求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-（e-2）=（e-1）（x-1）．
化简得所求切线的方程为y=（e-1）x-1．…（3分）
（Ⅱ）f′（x）=ex-1，
当x∈（-2，0）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
当x∈（0，ln2）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增．…（5分）
∵f（-2）＞f（ln2）．
函数f（x）=a，在[-2，ln2]上有唯一零点，等价于，f（ln2）＜a≤f（-2）或a=f（0），
即
∴实数a的取值范围是
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-（t-1）x=ex-1-tx，则g′（x）=ex-t．
∵x≥0，∴ex≥1．…（9分）
（ i）当t≤1时，g′（x）≥0，g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（0）=0．
即f（x）≥（t-1）x恒成立．…（11分）
（ ii）当t＞1时，ex-t=0，x=lnt，
当x∈（0，lnt）时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
当x∈（0，lnt）时，g（x）＜g（0）=0，此时不满足题设条件．…（12分）
综上所述：实数t的取值范围是t≤1．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）=ex-x-1，
∴f′（x）=ex-1．…（1分）
∴f′（1）=e-1，f（1）=e-2，
∴求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-（e-2）=（e-1）（x-1）．
化简得所求切线的方程为y=（e-1）x-1．…（3分）
（Ⅱ）f′（x）=ex-1，
当x∈（-2，0）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
当x∈（0，ln2）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增．…（5分）
∵f（-2）＞f（ln2）．
函数f（x）=a，在[-2，ln2]上有唯一零点，等价于，f（ln2）＜a≤f（-2）或a=f（0），
即
∴实数a的取值范围是
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-（t-1）x=ex-1-tx，则g′（x）=ex-t．
∵x≥0，∴ex≥1．…（9分）
（ i）当t≤1时，g′（x）≥0，g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（0）=0．
即f（x）≥（t-1）x恒成立．…（11分）
（ ii）当t＞1时，ex-t=0，x=lnt，
当x∈（0，lnt）时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
当x∈（0，lnt）时，g（x）＜g（0）=0，此时不满足题设条件．…（12分）
综上所述：实数t的取值范围是t≤1．…（13分）
函数f（x）=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围______．
正确答案
解析
解：若a=0，则f（x）=-x-1，令f（x）=-x-1=0，得x=-1，符合题意；
若a≠0，则f（x）=ax2-x-1是二次函数，
∴f（x）有且仅有一个零点⇔△=1+4a=0
综上所述，a=0或
故答案为：
函数f（x）=
正确答案
{k|0≤k＜
解析
解：函数g（x）=f（x）-kx-2k恰有两个零点，
即为f（x）=k（x+2）有两个不等的实根，
当x＜0时，直线和曲线相切，设切点为（m，km+2k），
由em-3=km+2k=k，k≠0，解得k=e-4，m=-1，
当直线经过点（0，e-3），k=
当直线和半圆相切，d=r=1，圆心为（1，0），
由
由图象可得，0≤k≤
则有k的取值范围是{k|0≤k≤
已知函数
正确答案
解析
解：作出函数f（x）的图象如图，
与y轴的交点分别为（0．-1），（0，2）
由f（x）+2x-k=0可得f（x）=-2x+k
构造函数g（x）=-2x+k
由图象可知，关于x的方程f（x）+2x-k=0有且只有两个不同的实根时，实数k的取值范围为（-1，2]
故选A．
已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=ax3-3x2+1，
∴f′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=-3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3-3x2+1在（-∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3-3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3-3x2+1在（-∞，0）上没有零点；
而当x=
故f（
故a＜-2；
综上所述，
实数a的取值范围是（-∞，-2）；
故选：D．
已知a≥0，b≥0．若关于x的方程x2+2（a+1）x+b2=0与x2+（b+1）x+a2=0都有实数根，则a+b的最大值是______．
正确答案
5
解析
解：∵x2+2（a+1）x+b2=0有实数解得，
∴△≥0，化简得a+1≥b；
又∵x2+（b+1）x+a2=0有实数解得，
∴△≥0，化简得b+1≥2a；
则得到不等式组，
作其平面区域如下，
当a，b都取到最大值时，a+b一定最大；
则由图知，当a=2，b=3时，
a+b有最大值为2+3=5；
故答案为：5．
已知0＜a＜1，函数f（x）=ax-|logax|的零点个数为（ ）
正确答案
解析
等于函数y=ax 和函数y=|logax|的图象的交点个数，如图所示：
数形结合可得，函数y=ax 和函数y=|logax|的图象的交点个数为2，
故0＜a＜1时，函数f（x）=ax-|logax|的零点个数为2，
故选：A．
设集合A={0，1，2，3，4，5，6，7}，如果方程x2-mx-n=0（m，n∈A）至少有一个根x0∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）
正确答案
解析
解：若方程为合格方程时，当m=0时，n=0，1，4； 当m=1时，n=0，2，6；
当m=2时，n=0，3； 当m=3时，n=0，4； 当m=4时，n=0，5；
当m=5时，n=0，6； 当m=6时，n=0，7； 当m=7时，n=0．
故合格方程的个数为17个，
故选C．
函数f（x）定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]；那么就称y=f（x）为“域倍函数”．若函数f（x）=loga（ax+2t）（a＞0，a≠1）是“域倍函数”，则t的取值范围为______．
正确答案
解析
解：根据函数
由“域倍函数”定义有
即方程f（x）=2x有两个不同实根，即方程ax+2t=a2x有两个不同实根．
令ax=u＞0，则u2-u-2t=0有两个不同正实根，
∴
故答案为：
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