- 函数的应用
- 共9606题
当x∈[1，2]，函数y=
A[
B[
C[
D[
正确答案
解析
解：作函数y=
结合图象可得，
a的取值范围是[
故选：B．
已知函数f（x）=2ax+1-3a在（0，1）内存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
Ca＞1或
Da＜1
正确答案
解析
解：已知函数f（x）=2ax+1-3a在（0，1）内存在一个零点，故有 f（0）f（1）=（1-3a）（1-a）＜0，
解得
故选A．
已知关于x的方程lnx-ax=0恰有一个实根，则实数a的取值范围______．
正确答案
解析
解：设y=lnx-ax，则y‘=
当a≤0，y'＞0，最多有一个实根，因 y（0-）＜0，y（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0，
因此a的取值范围为：
故答案为
设函数f（x）=log3
正确答案
解析
解：∵函数f（x）在区间（1，2）内有零点，
∴f（1）•f（2）＜0，
∴（
解得：
故选：B．
函数f（x）=2x-3x的零点所在的一个区间是（ ）
正确答案
解析
解：∵f（-2）=
f（0）=1+0＞0，f（1）=2-3＜0，
故选D．
已知函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1．
（1）若函数的一个零点在原点，①求m的值；②求当x∈[-1，2]时f（x）的值域；
（2）若0＜m＜
正确答案
解：（1）①由题意，2m-1=0，
解得m=
②f（x）=3x2+2x=3（x+
∵x∈[-1，2]，
∴-
则f（x）的值域为[-
（2）证明：∵函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1在[0，1]上连续，
又∵0＜m＜
∴f（0）=2m-1＜0，f（1）=2m+2+4m+2m-1=8m+1＞0；
∴f（x）在（0，1）上有一个零点．
解析
解：（1）①由题意，2m-1=0，
解得m=
②f（x）=3x2+2x=3（x+
∵x∈[-1，2]，
∴-
则f（x）的值域为[-
（2）证明：∵函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1在[0，1]上连续，
又∵0＜m＜
∴f（0）=2m-1＜0，f（1）=2m+2+4m+2m-1=8m+1＞0；
∴f（x）在（0，1）上有一个零点．
已知方程x2+（m+2）x+m+5=0
（1）若方程有根，求m的取值范围；
（2）若方程有两个正根，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）方程x2+（m+2）x+m+5=0有根，
所以△=（m+2）2-4（m+5）=m2-16≥0，
即m≤-4或m≥4．
（2）方程有两正根，设为x1，x2
所以
解得：-5＜m≤-4，
故方程有根时m的取值范围是（-∞，-4]∪[4，+∞）；方程有两个正根时，m的取值范围是（-5，-4]．
解析
解：（1）方程x2+（m+2）x+m+5=0有根，
所以△=（m+2）2-4（m+5）=m2-16≥0，
即m≤-4或m≥4．
（2）方程有两正根，设为x1，x2
所以
解得：-5＜m≤-4，
故方程有根时m的取值范围是（-∞，-4]∪[4，+∞）；方程有两个正根时，m的取值范围是（-5，-4]．
已知函数f（x）=
正确答案
e2
解析
则g′（x）=
当g′（x）＞0时，则0＜x＜e，
当g′（x）＜0时，则x＞e，
当g′（x）=0时，则x=e，
∴g（x）=
x=e时g（x）最大值为g（e）=e2
∵函数g（x）=
∴函数y=k与g（x）只有1个交点，
根据图象可知：k=e2
故答案为：e2
已知函数y=-x3+3x-a在[0，2]上有两个零点，则常数a的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：令f（x）=-x3+3x-a，x∈[0，2]．
则f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（1）=2-a；又f（0）=-a，f（2）=-2-a．∴最小值为-2-a．
①当a＜0时，f（1）＞0，f（0）＞0，f（2）≥-2，因此函数f（x）最多有一个零点；
②当a≥2时，f（1）＜0，因此函数f（x）无零点；
③当0≤a＜2时，f（1）＞0，f（0）≤0，f（2）＜0，因此函数f（x）有两个零点，满足条件．
综上可得：只有当0≤a＜2时，函数f（x）有两个零点．
故选：A．
已知函数
（1）求f（1），f（-3），f（a+1）的值；
（2）求函数f（x）的零点．
正确答案
解：（1）因为1＞0，所以f（1）=12+4×1-2=3；
因为-3＜0，所以f（-3）=（-3）2-4×（-3）-2=19；
当a+1≥0，即a≥-1时，f（a+1）=（a+1）2+4（a+1）-2=a2+6a+3；
当a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=（a+1）2-4（a+1）-2=a2-2a-5．
（2）由题意，得
或
所以函数f（x）的零点为
解析
解：（1）因为1＞0，所以f（1）=12+4×1-2=3；
因为-3＜0，所以f（-3）=（-3）2-4×（-3）-2=19；
当a+1≥0，即a≥-1时，f（a+1）=（a+1）2+4（a+1）-2=a2+6a+3；
当a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=（a+1）2-4（a+1）-2=a2-2a-5．
（2）由题意，得
或
所以函数f（x）的零点为
已知函数f（x）=x2+
正确答案
解析
解：f（x）=x2+
令x+
则g（t）=t2+at+b-2在t≥2或t≤-2上有零点；
①当-4＜a＜0时，
g（-2）=2-2a+b≤0即可，
此时a2+b2的最小值为
②当a≤-4时，
a2-4（b-2）≥0即可，
此时a2+b2的最小值为16；
③当0≤a＜4时，
g（2）=2+2a+b≤0即可，
此时a2+b2的最小值为
④当a≥4时，
a2-4（b-2）≥0即可，
此时a2+b2的最小值为16；
综上所述，a2+b2的最小值为
故答案为：
函数
正确答案
解析
解：∵f（9）=lg9-1＜lg10-1=0，f（10）=lg10-
可得函数
故答案为 （9，10）．
已知函数f（x）=
正确答案
4
解析
解：令y=f（x）-3=0，
得：f（x）=3，
画出函数f（x）的草图，
如图示：
∴函数y=f（x）-3的零点个数为4个，
故答案为：4．
已知函数f（x）=1+
（1）求α的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并给予证明．
正确答案
解：（1）由
解得α=1．
（2）由（1），得
令f（x）=0，即
即
解得
经检验，
所以函数f（x）的零点为
（3）函数
证明如下：
设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1x2＞0．
所以f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以
解析
解：（1）由
解得α=1．
（2）由（1），得
令f（x）=0，即
即
解得
经检验，
所以函数f（x）的零点为
（3）函数
证明如下：
设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1x2＞0．
所以f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以
已知命题①：函数y=ax2-2ax+a+1的图象总在x轴上方；命题②：关于x的方程（a-1）x2+（2a-4）x+a=0有两个不相等的实数根．
（1）若命题①为真，求a的取值范围；
（2）若命题②为真，求a的取值范围；
（3）若命题①、②中至多有一个命题为真，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）a=0时，y=1，符合题意；
当a≠0时，由
（2）方程两个不相等的实数根
即a＜1或
（3）设A={a|a≥0}，
则a的范围为 
故当命题①、②中至多有一个命题为真时，
a的取值范围是
解析
解：（1）a=0时，y=1，符合题意；
当a≠0时，由
（2）方程两个不相等的实数根
即a＜1或
（3）设A={a|a≥0}，
则a的范围为
故当命题①、②中至多有一个命题为真时，
a的取值范围是
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