直线的方向向量
共206题

· 直线的方向向量

直线的方向向量
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题型：简答题

简答题

如图，四棱锥中，，底面为直角梯形，，点在棱上，且．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

正确答案

（1）异面直线与所成的角等于．（2）证明见解析

（3）二面角的余弦值为．

（1）以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系．

设，则，

．

，，即，

，则．

，，

，

所以异面直线与所成的角等于．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（3）设平面的法向量，

，

由得所以

于是．

又因为平面的法向量，

所以，即二面角的余弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．

（1）求证：平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的大小；

（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

正确答案

（1）证明见解析（2）与平面所成的角为．（3）当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．

（1）证明：平面，

．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角为．

（3）的重心，，

平面，．

又，．

．

，即．

反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．

题型：填空题

填空题

在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则 _ ▲ .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分15分) 如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．

（1）求证：平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心．

正确答案

（1）证明见解析。

（2）

（3）

（1）证明：平面，．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角的正弦值为．

（3）的重心，，平面，．又，．．

，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

⑴求证：；

⑵求直线与平面所成的角；

⑶设点在棱上，，若∥平面，求的值.

正确答案

解：【方法一】（1）证明：由题意知则

（4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角.

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为. 　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即

（12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

设，

则

即直线为.　　　（8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

进而得，

由,得∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

略

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