一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：单选题

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单选题

不等式（x+3）（x-1）＜0的解为（　　）

Ax＜-3

B1＜x＜3

C-3＜x＜1

Dx＞1且x≠-3

正确答案

C

解析

解：设f（x）=（x+3）（x-1），则函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，图象与x轴的两个交点为（-3，0）和（1，0），

不等式（x+3）（x-1）＜0的解即为f（x）＜0的解，结合函数f（x）的图象可得f（x）＜0的解集为-3＜x＜1．

故不等式（x+3）（x-1）＜0的解为-3＜x＜1．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

求不等式x2-2ax-3a2＜0的解集．

正确答案

解：∵x2-2ax-3a2＜0⇔（x-3a）（x+a）＜0…3分

∴当a＞0时，不等式的解集为：{x|-a＜x＜3a}；…6分

当a=0时，不等式的解集为：x∈∅；…9分

当a＜0时，不等式的解集为：{x|3a＜x＜-a}；…12分

解析

解：∵x2-2ax-3a2＜0⇔（x-3a）（x+a）＜0…3分

∴当a＞0时，不等式的解集为：{x|-a＜x＜3a}；…6分

当a=0时，不等式的解集为：x∈∅；…9分

当a＜0时，不等式的解集为：{x|3a＜x＜-a}；…12分

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题型：简答题

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简答题

（I）解不等式-x2+4x+5＜0；

（Ⅱ）若不等式mx2-mx+1＞0，对任意实数x都成立，求m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）不等式可化为：x2-4x-5＞0

因△=16+20＞0，方x2-4x-5=0有两个实数根，即x1=5，x2=-1…（3分）

所以原不等式的解集是{x|x＜-1或x＞5}…（5分）

（Ⅱ）当m=0时，代入不等式可得1＞0，当然不等式成立，所以m=0符合题意 …（6分）

当m≠0时，则有，即，解得 0＜m＜4…（8分）

∴m的取值范围{m|0≤m＜4} …（10分）

解析

解：（Ⅰ）不等式可化为：x2-4x-5＞0

因△=16+20＞0，方x2-4x-5=0有两个实数根，即x1=5，x2=-1…（3分）

所以原不等式的解集是{x|x＜-1或x＞5}…（5分）

（Ⅱ）当m=0时，代入不等式可得1＞0，当然不等式成立，所以m=0符合题意 …（6分）

当m≠0时，则有，即，解得 0＜m＜4…（8分）

∴m的取值范围{m|0≤m＜4} …（10分）

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=f（x）+2＞0的解集是（　　）

A（-2，2）

B（-∞，-2）∪（2，+∞）

C（-1，1）

D（-∞，-1）∪（1，+∞）

正确答案

A

解析

解：①当x≥0时；f（x）=-x2+x，

∵-x2+x+2＞0，

x2-x-2＜0，

解得，-1＜x＜2，

∴0≤x＜2；

②当x＜0时；f（x）=-x2-x，

∴-x2-x+2＞0，

解得，-2＜x＜1，

∴-2＜x＜0，

综上①②知不等式f（x）+2＞0的解集是：（-2，2），

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0．

（Ⅰ）求f（x）在[0，1]内的值域；

（Ⅱ）若ax2+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．．

正确答案

解：（Ⅰ）∵当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0

∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，

∴可得，所以 a=-3 b=5，

∴f（x）=-3x2-3x+18=-3（x+）2+18.75

函数图象关于x=-0.5对称，且抛物线开口向下

∴在区间[0，1]上f（x）为减函数，所以函数的最大值为f（0）=18，最小值为f（1）=12

故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]

（Ⅱ）由（I）知，不等式ax2+bx+c≤0化为：-3x2+5x+c≤0

因为二次函数y=：-3x2+5x+c的图象开口向下，要使-3x2+5x+c≤0的解集为R，只需，

即 25+12c≤0⇒c≤，

∴实数c的取值范围．

解析

解：（Ⅰ）∵当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0

∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，

∴可得，所以 a=-3 b=5，

∴f（x）=-3x2-3x+18=-3（x+）2+18.75

函数图象关于x=-0.5对称，且抛物线开口向下

∴在区间[0，1]上f（x）为减函数，所以函数的最大值为f（0）=18，最小值为f（1）=12

故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]

（Ⅱ）由（I）知，不等式ax2+bx+c≤0化为：-3x2+5x+c≤0

因为二次函数y=：-3x2+5x+c的图象开口向下，要使-3x2+5x+c≤0的解集为R，只需，

即 25+12c≤0⇒c≤，

∴实数c的取值范围．

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题型：简答题

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简答题

（2014秋•泾阳县校级月考）解关于x的不等式：2x2+ax+2＞0（a∈R）

正确答案

解：关于x的不等式：2x2+ax+2＞0（a∈R）中，

△=a2-4×2×2=a2-16，

当a＞4或a＜-4时，△＞0，

对应的一元二次方程有两个实数根x=和x=，

且＜，

∴不等式的解集为{x|x＜或x＞}；

当a=±4时，△=0，

对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=-，

∴不等式的解集为{x|x≠-}；

当-4＜a＜4时，△＜0，

∴不等式的解集为R；

综上，a＞4或a＜-4时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}；

a=±4时，不等式的解集为{x|x≠-}；

-4＜a＜4时，不等式的解集为R．

解析

解：关于x的不等式：2x2+ax+2＞0（a∈R）中，

△=a2-4×2×2=a2-16，

当a＞4或a＜-4时，△＞0，

对应的一元二次方程有两个实数根x=和x=，

且＜，

∴不等式的解集为{x|x＜或x＞}；

当a=±4时，△=0，

对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=-，

∴不等式的解集为{x|x≠-}；

当-4＜a＜4时，△＜0，

∴不等式的解集为R；

综上，a＞4或a＜-4时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}；

a=±4时，不等式的解集为{x|x≠-}；

-4＜a＜4时，不等式的解集为R．

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题型：填空题

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填空题

已知不等式ax2+2x-1＞0的解集是A，若（3，4）⊆A，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：当a=0时，不等式变为2x-1＞0，故A=（，+∞），满足（3，4）⊆A，故a=0可取；

当a＞0时，不等式ax2+2x-1＞0相应函数的对称轴是x=-＜0，故欲使（3，4）⊆A，只需9a+5≥0，此式恒成立，故a＞0可取；

当a＜0时，不等式ax2+2x-1＞0相应函数的图象开口向下，故只需区间（3，4）两端点的函数值大于等于零，即间解得a≥-．

综上知实数a的取值范围是[-，+∞）

故应填[-，+∞）

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题型：填空题

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填空题

当不等式2≤x2+px+10≤6恰有一个解时，实数p的值是______．

正确答案

±4

解析

解：设y=x2+px+10，则依题意，二次函数y=x2+px+10的图象与函数y=6的图象只有一个公共点，

所以方程x2+px+10=6，即x2+px+4=0只有一个根，△=p2-16=0，解得p=-4或p=4．

故答案为：±4

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题型：单选题

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单选题

不等式的解集为M，则（　　）

AM=（-1，1）

B0∈M

C2∈M

DM=[-1，1）

正确答案

C

解析

解：不等式化为（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1，或x＜-1．

∴不等式的解集M={x|x＞1或x＜-1}．

故2∈M．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

不等式x2-ax-b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2-ax-1＞0的解集是______．

正确答案

（-，-）

解析

解：∵不等式x2-ax-b＜0的解为2＜x＜3，

∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2，x2=3，

根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=-6；

不等式bx2-ax-1＞0即不等式-6x2-5x-1＞0，

整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得-＜x＜-

∴不等式bx2-ax-1＞0的解集是（-，-）

故答案为：（-，-）

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