- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
若关于x的不等式x2-ax-6a＜0有解，且解区间的长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：设方程x2-ax-6a=0的两根分别为x1，x2，则
△＞0，∴a2+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解区间的长度就是方程x2-ax-6a=0的两个根的距离
由韦达定理，可得x1+x2=a，x1•x2=-6a
所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=a2+24a
∵长度不超过五个单位长
∴|x1-x2|≤5
∴（x1-x2）2≤25
∴a2+24a≤25
∴-25≤a≤1
综上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故选D．
已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为
正确答案
6
解析
解：关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为
说明
可得b=
故答案为：6
若关于x的不等式2x2-8x-4-a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：原不等式2x2-8x-4-a＞0化为：a＜2x2-8x-4，
只须a小于y=2x2-8x-4在1＜x＜4内的最大值时即可，
∵y=2x2-8x-4在1＜x＜4内的最大值是-4．
则有：a＜-4．
故选A．
设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．
正确答案
解：（1）由条件得
解得：a=-1，b=4．
（2）f（x）=-x2+2x+3
函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，
∴x=m时f（x）min=-m2+2m+3=1
解得
∵
解析
解：（1）由条件得
解得：a=-1，b=4．
（2）f（x）=-x2+2x+3
函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，
∴x=m时f（x）min=-m2+2m+3=1
解得
∵
（2015秋•东莞校级期中）（1）设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤x≤2的实数x的取值都成立．
正确答案
解：（1）令f（m）=2x-1-m（x2-1）=（1-x2）m+2x-1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切
实数都有2x-1＞m（x2-1）成立．
所以，
所以，
（2）令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x2-1）成立．
当m=0时，f（x）=2x-1在
当m≠0时，f（x）只需满足下式：
解之得结果为空集．
故没有m满足题意．
解析
解：（1）令f（m）=2x-1-m（x2-1）=（1-x2）m+2x-1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切
实数都有2x-1＞m（x2-1）成立．
所以，
所以，
（2）令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x2-1）成立．
当m=0时，f（x）=2x-1在
当m≠0时，f（x）只需满足下式：
解之得结果为空集．
故没有m满足题意．
函数y=ax-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中m、n＞0，则
A
B3
C
D6
正确答案
解析
解：由已知定点A坐标为（1，1，由点A在直线mx+ny-1=0上，
∴m+n-1=0，即m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴
当且仅当 
故选C．
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为
①a＞0，
②b＞0，
③c＞0，
④a+b+c＞0，
⑤a-b+c＞0．
其中正确结论的序号是______．
正确答案
（2），（3），（4）
解析
解：由题意，x=
故答案为：（2），（3），（4）
若关于x的不等式0≤x2+ax+5≤4恰好只有一个解，则实数a=______．
正确答案
±2
解析
解：由题意，x2+ax+5有最小值如果最小值小于4，则x2+ax+5＜4有不止一个解如果最小值大于4则无解，
所以最小值=4∴
∴a=±2
故答案为±2
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有
A1
B
C2
D0
正确答案
解析
解：由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立
∵当x∈（1，3）时，有
∴取x=2时，f（2）≤
∴f（2）=2．
∴4a+2b+c=2①
∵f（-2）=0
∴4a-2b+c=0②
由①②可得，∴4a+c=2b=1，
∴b=
故选B．
若关于x的不等式kx2-2kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为______．
正确答案
[0，1）
解析
解：①当k=0时，不等式kx2-2kx+1＞0变为1＞0对任意实数x恒成立，因此k=0满足条件；
②当k≠0时，若不等式kx2-2kx+1＞0对于任何实数x恒成立，则
综上①②可知：实数k的取值范围是[0，1）．
故答案为：[0，1）．
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