- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元．
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.0518=2.406，1.0519=2.526，1.0520=2.653，1.0521=2.786）
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每月还款额比前一个月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，
则应有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n2-3n-828≥0，解之得
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，
能够满足当月的基本生活需求．（14分）
解法2：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1=500+x，公差为x．（2分）
从而，到第36个月，凌霄共还款
令
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有
整理可得n2-3n-828≥0，解之得
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，能够满足当月的基本生活需求．（14分）
解析
解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每月还款额比前一个月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，
则应有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n2-3n-828≥0，解之得
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，
能够满足当月的基本生活需求．（14分）
解法2：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1=500+x，公差为x．（2分）
从而，到第36个月，凌霄共还款
令
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有
整理可得n2-3n-828≥0，解之得
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，能够满足当月的基本生活需求．（14分）
不等式
正确答案
解析
解：不等式可化为（x+1）（3x-2）＜0
∴-1＜x＜
∴不等式
故答案为：
关于x的不等式mx2+8mx+28＜0的解集是{x|-7＜x＜-1}，则实数m的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式mx2+8mx+28＜0的解集是{x|-7＜x＜-1}，
∴方程mx2+8mx+28=0的两根为-7、-1
∴（-7）×（-1）=
∴m=4
故选D．
设函数
（1）求使得f（x）＞0成立的x的取值范围；
（2）判断f（x）在区间
正确答案
（1）解：f（x）＞0，即
∴
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（1，+∞）；
（2）解：f（x）在区间
证明：设x1＞x2＞
∵x1＞x2＞
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间
解析
（1）解：f（x）＞0，即
∴
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（1，+∞）；
（2）解：f（x）在区间
证明：设x1＞x2＞
∵x1＞x2＞
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间
当|m|≤1时，不等式-2x+1＜m（x2-1）恒成立，则x的取值范围是…（ ）
A（-1，3）
B（0，-1+
C（-3，1）
D（-1+
正确答案
解析
解：构造函数f（m）=（x2-1）m-2x+1，则由题意f（m）在[-1，1]上恒小于0，
∴
∴
∴
故选D．
（2015秋•邯郸校级月考）不等式
正确答案
解析
解：原不等式等价于：（x+1）（2-x）≤0且2-x≠0
∴x≤-1，或x＞2
∴原不等式的解集为{x|x≤-1或x＞2}
故选
（2015秋•抚顺期末）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，
A0
B-2
C-
D-3
正确答案
解析
解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，
即有-a≤x+
由于y=x+
则当x=
则有-a
则a的最小值为-
故选：C．
若a+b＞0，则关于x的不等式
正确答案
解析
解：由题意，∵a+b＞0
∴a＞-b
∵不等式
∴x＜-b或x＞a
故选B．
设函数
正确答案
（-∞，-2]∪[4，+∞）
解析
解：当x＜-1时，f（x）=（x+1）2，代入不等式得：（x+1）2≥1，
即x（x+2）≥0，可化为：
解得：x≥0或x≤-2，则满足题意的自变量x的取值范围是（-∞，-2]；
当x≥-1时，f（x）=x-3，代入不等式得：x-3≥1，
解得：x≥4，则满足题意的自变量x的取值范围是[4，+∞），
综上，使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞），
故答案为：（-∞，-2]∪[4，+∞）
（2015春•杭州期中）已知函数f（x）=
正确答案
0≤m≤4
解析
解：∵函数f（x）=
∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，
当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，
当m≠0时，必有
综上可得0≤m≤4
故答案为 0≤m≤4
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