- 一般数列的项
- 共319题
已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1，的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1。
（1）写出a2，a3和an的表达式；
（2）证明a1+a2+a3+…+an＜3；
（3）设点Mn（n，an），在这些点中是否存在两个点同时在函数
正确答案
解：（1）由已知Pn﹣1Pn=（n﹣1）PnPn﹣1
令n=2，P1P2=P2P3，
∴a2=1，同理
（2）∵
a1+a2+a3+…+an
而n=1时，结论成立，
故a1+a2+a3+…+an＜3；
（3）假设有两个点A（p，ap），B（q，aq），都在函数
即
所以
消去k得
以下考查数列
当n＞2时，n2﹣3n+1＞0，
所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。
有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a，
(1)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n-1年（n≥2，n∈N*）的产量之间的关系式；
(2)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少。
正确答案
解：(1)设第n年的产量为an，则a1=a(1+150%)，
∴
(2)依题意，
由
∴
由于
当n≥5时，
故从第5年起产量将比上一年减少。
已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n，
(Ⅰ)求a3、a4；
(Ⅱ)证明：数列{an+1-2an}是一个等比数列；
(Ⅲ)求{an}的通项公式。
正确答案
解：（Ⅰ）因为Sn=2an-2n，
所以a1=2，S1=2，
由2an=Sn+2n，得
得
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以
（Ⅲ）
某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形。
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求
正确答案
解：（1）∵f（1）=1， f（2）=5， f（3）=13， f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41。
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4·（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4·（n-3）
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1] =2（n-1）·n，
∴f（n）=2n2-2n+1。
（3）当n≥2时，
∴
数列{an}满足：a1=1，an+1=
（1）求a2，a3；
（2）设bn=a2n-2，n∈N*，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知cn=
正确答案
解：（1）由数列
（2）
又
∴
∴
即数列
（3）由（2）有
∵
∴
扫码查看完整答案与解析