- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
解析
∵点P是弦AB的中点，
∴OP⊥AB，AP=
∵OA=5cm，OP=3cm，
∴在Rt△AOP中，AP=4
∴AP×PB=CP×PD
∵
∴16=
∴CD=
故答案为：
（1）若∠ACB=70°，求∠BAP的度数；
（2）若
正确答案
解：（1）∵PA与圆O切于点A，
∴∠CAP=∠ABC，
∵∠ACP=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP，
∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，
∵∠ACB=70°，
∴∠BAP=110°；
（2）由（1）得∠CAP=∠ABC，
∵∠APC=∠APC，
∴△PAC∽△PBA，
∴
∴PA=
∴PA2=
由切割线定理可得PA2=PB•PC，
∴PB•PC=
∴
解析
解：（1）∵PA与圆O切于点A，
∴∠CAP=∠ABC，
∵∠ACP=∠ABC+∠BAC，
∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP，
∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，
∵∠ACB=70°，
∴∠BAP=110°；
（2）由（1）得∠CAP=∠ABC，
∵∠APC=∠APC，
∴△PAC∽△PBA，
∴
∴PA=
∴PA2=
由切割线定理可得PA2=PB•PC，
∴PB•PC=
∴
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2
正确答案
证明：（I）如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是
∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，
∴BC•AC=AD•AE．
解：（II）∵CF是⊙O的切线，
∴CF2=AF•BF，
∵AF=2，CF=2
∴（2
∴AB=BF-AF=2．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，
∴△AFC∽△CFB，
∴AF：FC=AC：BC，
∴AC=
∴cos∠ACD=
∴sin∠ACD=
∴AE=
解析
证明：（I）如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是
∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，
∴BC•AC=AD•AE．
解：（II）∵CF是⊙O的切线，
∴CF2=AF•BF，
∵AF=2，CF=2
∴（2
∴AB=BF-AF=2．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，
∴△AFC∽△CFB，
∴AF：FC=AC：BC，
∴AC=
∴cos∠ACD=
∴sin∠ACD=
∴AE=
（1）求证：DF⊥CE．
（2）若AB=
正确答案
（1）证明：如图所示，
∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，
∴由割线定理，得CA•CB=CF•CE，
∵AB=BC=DB，DB⊥AC，
∴DA=DC=
∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，
∴CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，即
又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，
∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．
（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=
∴CD=2
在Rt△DFC中，DF=
∴在Rt△CDE中，CE=4，
∵∠ECB=∠DCB-∠DCE=15°
∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°-30°）=
∴在△BCE中，BE2=BC2+CE2-2BC•CE•cos∠BCE=10-4
解析
（1）证明：如图所示，
∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，
∴由割线定理，得CA•CB=CF•CE，
∵AB=BC=DB，DB⊥AC，
∴DA=DC=
∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，
∴CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，即
又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，
∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．
（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=
∴CD=2
在Rt△DFC中，DF=
∴在Rt△CDE中，CE=4，
∵∠ECB=∠DCB-∠DCE=15°
∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°-30°）=
∴在△BCE中，BE2=BC2+CE2-2BC•CE•cos∠BCE=10-4
（几何证明选讲选做题）已知圆O割线PAB交圆O于A，B（PA＜PB）两点，割线PCD经过圆心O（PC＜PD），已知PA=6，AB=7
正确答案
2
解析
解：设圆的半径为r，
∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=6，PB=6+
∴6×
r2=102-80=20，
∴r=2
故答案为：2
（1）求证：PA•PB=PE•PO；
（2）若PC=4，CE=
正确答案
（1）证明：连接OC，则OC⊥PC，
∵CD⊥AB，
∴PC2=PE•PO，
∵PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，
∴PC2=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO；
（2）解：∵PC=4，CE=
∴PE=
∵PC2=PE•PO，
∴PO=5，
∴OE=
∴OC=3，
∴圆O的面积S=9π．
解析
（1）证明：连接OC，则OC⊥PC，
∵CD⊥AB，
∴PC2=PE•PO，
∵PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，
∴PC2=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO；
（2）解：∵PC=4，CE=
∴PE=
∵PC2=PE•PO，
∴PO=5，
∴OE=
∴OC=3，
∴圆O的面积S=9π．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+
正确答案
∴∠CDF=∠ABC，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE，…（4分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，
∵AB=AC，
∴
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=
∵△ABC中BC边上的高为1+
∴AH=OA+OH=r+
解得：r=1，
∴△ABC的外接圆的面积为：π（10分）
解析
∴∠CDF=∠ABC，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE，…（4分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，
∵AB=AC，
∴
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=
∵△ABC中BC边上的高为1+
∴AH=OA+OH=r+
解得：r=1，
∴△ABC的外接圆的面积为：π（10分）
（1）求证：OM•OP=OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM=90°．
正确答案
证明：（1）因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA2=OM•OP，
故OM•OP=OA2得证．
（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：
OB2=ON•OK，又OB=OA，
所以OM•OP=ON•OK，即
又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°．
即有：∠OKM=90°．
解析
证明：（1）因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA2=OM•OP，
故OM•OP=OA2得证．
（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：
OB2=ON•OK，又OB=OA，
所以OM•OP=ON•OK，即
又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°．
即有：∠OKM=90°．
正确答案
15°
解析
解：∵线PD切⊙O于点D，PO交⊙O于点E，F．
∴PD2=PE•PF，可得12=PE×（
由此可得EF=PF-PE=
∵O是圆心，EF经过点O，∴直径EF=2
∵∠EDP=∠DFP，∠P是公共角，∴△EDP∽△DFP，可得
∵EF是⊙O直径，∴DE⊥DF
因此，Rt△DEF中，tan∠DFP=
结合∠DFP是锐角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°
故答案为：
正确答案
2.5
解析
解：∵DE平分∠CDF
∴∠FDE=∠CDE
∵∠CDE=∠ABE，∠FDE=∠ADB
∴∠ADB=∠ABE，
∵∠DAB=∠BAE
∴△ABD∽△AEB
∴
∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=
∴DE=
故答案为：2.5
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（ ）
正确答案
解析
∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴
∴CD2=AD•BD．
∵CD2=CE•CB，
∴CE•CB=AD•BD，
故选A．
过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，
（1）求证：DE2=DB•DA；
（2）若⊙O的半径为
正确答案
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°，
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，
∴DE2=DB•DA；
（2）
∵CE•EF=AE•EB=（
∴EF=2
解析
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°，
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，
∴DE2=DB•DA；
（2）
∵CE•EF=AE•EB=（
∴EF=2
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=
正确答案
90°
解析
解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC，∴
∵S=
∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE，
∴sin∠BAC=1，
又∵∠BAC是三角形内角，
∴∠BAC=90°．
故答案为：90°．
（1）求证：
（2）若△ABC的面积S=
正确答案
证明：（1）由已知条件，可得∠BAE=∠CAD．
∵∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD．
∴△ABE∽△ADC，∴
（2）∵△ABE∽△ADC，∴
即AB•AC=AD•AE．
又∵
∴AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
∴sin∠BAC=1．又∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=90°，即BA⊥AC．
解析
证明：（1）由已知条件，可得∠BAE=∠CAD．
∵∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD．
∴△ABE∽△ADC，∴
（2）∵△ABE∽△ADC，∴
即AB•AC=AD•AE．
又∵
∴AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
∴sin∠BAC=1．又∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=90°，即BA⊥AC．
正确答案
4
解析
解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．
∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，
∴32=9x•（9x+16x），化为
∴PD=9x=
∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．
∴
故答案分别为
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