- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．
正确答案
（1）解：DE与半圆O相切
证明：连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）解：∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根
∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=
解析
（1）解：DE与半圆O相切
证明：连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）解：∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根
∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=
（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴
解析
（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴
正确答案
30°
解析
解：由割线定理得，
PA×PB=PC×PD，
∵PA=4，PC=5，
∴4×10=5×PD，∴PD=8，
∴CD=8-5=3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．
故填：30°或
正确答案
4
解析
解：∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，
而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE．
∴EA=ED，∴ED2=EA2=EC•EB=16，
∴ED=4．
正确答案
36
解析
∴点D、M在以AP为直径的圆上；
同理：M、C在以BP为直径的圆上．
由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，
∴AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2=36．
故答案为：36．
正确答案
解析
解：在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，∴
∵AB与⊙C相切与点D，连接CD，∴CD⊥AB．
∴S△ABC=
∴⊙C的半径长为
故答案为
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为______．
正确答案
解析
解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
设PB=x，PC=y，
∵
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得
∴
∴
故答案为：
（2）∵曲线ρ2+2ρcosθ-3=0的普通方程为x2+y2+2x-3=0，
∴曲线是圆心为（-1，0），半径为r=
∵直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，
∴圆心为（-1，0）到直线的距离d=
∴|AB|距离的最小值为4
故答案为：4
正确答案
解析
解：设CD=
∵AC与圆O相切于点A，∴AC⊥AB，AC2=CD•CE=
∴AD2=AC2+CD2=
∵CE∥AB，∴
故答案为
（Ⅰ）若∠C=60°，CE=1，求BC的长；
（Ⅱ）求证OD•BC=OA•CE．
正确答案
∵∠C=60°，
∴BC=2CE=2；
（Ⅱ）证明：∵CB是半圆O的切线，
∴∠CBE=∠A，
∵∠CEB=∠ODA=90°，
∴△AOD∽△BCE，
∴
∴OD•BC=OA•CE．
解析
∵∠C=60°，
∴BC=2CE=2；
（Ⅱ）证明：∵CB是半圆O的切线，
∴∠CBE=∠A，
∵∠CEB=∠ODA=90°，
∴△AOD∽△BCE，
∴
∴OD•BC=OA•CE．
A50
B
C96
D100
正确答案
解析
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
又知，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴AC=6 
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CDE=∠ADB，
∴△CDE∽△ADB，
∴
∴AD•DE=DB•CD=5×10=50．…（10分）
故选A．
圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，若FB=2，EF=1，则CE=（ ）
正确答案
解析
解：由题意得：A、F、B、C四点共园，
根据圆周定理可得∠ABF=∠ACF．
又∵CE是角平分线，所以∠ACF=∠BCF．
∴△FCB∽△FBE，
∴FE：FB=FB：FC，
∵FB=2，EF=1，
∴FC=4，
∴CE=CF-FE=3．
故选A
如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=
正确答案
解：连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，
∵Rt△CDE中，tan∠CED=
∴
代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
解析
解：连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，
∵Rt△CDE中，tan∠CED=
∴
代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
正确答案
30°
4
解析
解：∵弦PQ平行于过点B的切线BT，
∴
∴∠PAB=∠QAB
∵PAB=30°，∴∠QAB=30°
∵过点B的切线BT，AP的延长线交切线BT于点M，
∴MB2=MP•MA
∵PA=3PM=6
∴MB2=MP•MA=2×8=16
∴MB=4
故答案为：30°，4．
正确答案
10
解析
解：∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．
即EF•EP=DE•EA．
∵AE=12，ED=6，EF=4，
∴4•EP=72，
∴EP=18，
∵CD∥AP，
∴
∴EC=9，
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE•EA=CE•EB，
∴EB=8，
∴PB=EP-EB=10．
故答案为：10．
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．
正确答案
证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，
∴△ABE∽△ADC，∴
∴AB•AC=AE•AD．
（2）连接OF，∵F是
由（1）得∠BAE=∠CAD，
∴∠FAE=∠FAD．
解析
证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，
∴△ABE∽△ADC，∴
∴AB•AC=AE•AD．
（2）连接OF，∵F是
由（1）得∠BAE=∠CAD，
∴∠FAE=∠FAD．
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