- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
已知圆的直径AB=13cm，C是圆周上一点（不同于A，B点）CD⊥AB于D，CD=6cm，则BD=______
正确答案
4cm或9cm
解析
解：延长CD交圆于另一点E，
由垂径定理我们易得：CD=DE=6cm，
则BD•AD=CD•DE=36
又由BD+AD=AB=13
解得：BD=4或BD=9
即BD=4cm或9cm
故答案为：4cm或9cm
正确答案
解：因为圆O与AC切于点D，由切割线定理得
AD2=AE•AB，即22=AB，∴AB=4．（4分）
设CD=x，则CB=x，
在直角三角形ABC中，x2+42=（x+2）2，
解之得x=3．（10分）
解析
解：因为圆O与AC切于点D，由切割线定理得
AD2=AE•AB，即22=AB，∴AB=4．（4分）
设CD=x，则CB=x，
在直角三角形ABC中，x2+42=（x+2）2，
解之得x=3．（10分）
（1）证明：PA=PD；
（2）求证：PA•AC=AD•OC．
正确答案
（1）证明：连结AC，
∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，
∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵直线PA为圆O的切线，切点为A，
∴∠C=∠BAP，
∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，
∴PA=PD．
（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，
∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，
∴
解析
（1）证明：连结AC，
∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，
∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵直线PA为圆O的切线，切点为A，
∴∠C=∠BAP，
∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，
∴PA=PD．
（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，
∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，
∴
正确答案
4
解析
解：∵QA是⊙O的切线，
∴QA2=QC•QD，
∵QC=1，CD=3，
∴QA2=4，
∴QA=2，
∴PA=4，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PB=PA=4．
故答案为：4．
（几何证明选讲选做题）
如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠BPC的值为______．
正确答案
解析
解：如图所示，
由△CDP∽△BAP，得
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∴cos∠DPA=
又∵∠BPC=∠DPA，
∴
故答案为
正确答案
∠CAD
解析
证明：∵AE是△ABC的外接圆直径，
∴∠ABE=90°．
∴∠BAE+∠E=90°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠CAD+∠ACB=90°．
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAD．
连接BE，由于∠BEA=∠ACB，且三角形ABE是直角三角形．
sin∠BEA=sin∠ACB=
故⊙O的直径AE=
故答案为：∠CAD，
（Ⅰ）求证：PA=PC；
（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．
正确答案
解析
∴∠PAB=∠ADB
∵BD为圆O的直径，
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC为等腰三角形
∴PA=PC；
（Ⅱ）解：由题意得 Rt△AOP中，cos∠AOP=
∴∠AOB=
∴等腰三角形AOB中，∠OBC=
由和差角公式得：cos∠OBC=
在Rt△BOC中，BC=
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则
正确答案
解析
可得PA=2PB，
在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），
可得△PAB∽△PAC，
∴
故答案为：
（Ⅰ）求证：C是劣弧
（Ⅱ）求证：BF=FG．
正确答案
解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点（5分）
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG（10分）
解析
解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点（5分）
（II）∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG（10分）
A7
B
C9
D3
正确答案
解析
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
又BO=OA，∴DO∥CA，
DE是圆的切线，∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC，
在直角三角形ADC中，DC2=CE•CA，
即32=4CE，
∴CE=
故选B．
（1）求∠ADF的值；
（2）若AB=AC，求
正确答案
解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴
解析
解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴
由圆外一点P向圆O所引的一条切线为PA（切点为A），连接PO并延长交圆O于点B，若
正确答案
2π
解析
解：如图，由圆外一点P向圆O所引的一条切线为PA（切点为A），
连接PO并延长交圆O于点B和C，
∵PA2=PC•PB，
∴
∴直径BC=PB-PC=3-1=2，
∴圆O的半径r=1，
∴圆O的周长=2π．
故答案为：2π．
正确答案
1
解析
∵∠BAC=60°，
∴AB=AD，
连接AE，则AE⊥AB，∠AEB=60°，
∵圆O的半径为1，
∴AB=AD=
∵AD2=DE•DB，
∴3=DE•（DE+2），
∴DE=1，
故答案为：1．
正确答案
解析
解：∵CB是圆的切线，CDA是圆的割线，
∴CB2=CD•CA=1×2=2，
∴CB=
在等腰三角形ABC中，
由余弦定理知cosA=
∴sinA=
根据正弦定理
∴r=
故答案为：
正确答案
解析
解：连接BC，∵CD为圆O的切线，∴∠ACD=∠CBA．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．
∴
∵AB=5，AC=4，∴
故答案为
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