- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
证明：∵AI和BI分别为角平分线
∴∠BAI=
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠BAI+∠ABI=45°
∴∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°
∴S△ABI=
∵S△ABI=
∴AI•BI•sin135°=AB•r
∴AI•BI=
解析
证明：∵AI和BI分别为角平分线
∴∠BAI=
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠BAI+∠ABI=45°
∴∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°
∴S△ABI=
∵S△ABI=
∴AI•BI•sin135°=AB•r
∴AI•BI=
正确答案
解析
∵PC⊥OP，
∴PC=PD，
∵PC•PD=PB•PA，
∴PC2=PB•PA，
∵AP=9，BP=4，
∴PC2=36，
∴PC的长为6．
故选：B．
如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于占E，则（ ）
正确答案
解析
∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴
∴CD2=AD•BD．
∵CD2=CE•CB，
∴CE•CB=AD•BD，
故选：C．
正确答案
解析
解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，
∴PC2=PA•PB=16，
∴PC=4，
又OC=3，
∴OP=5，
∴由等面积可得
故答案为：
如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC
（Ⅱ）若EH=BE=a，求AH．
正确答案
∴
又∵BE与圆O相切于点B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，
又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，
∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，
因此Rt△ABE中，cos∠E=
∴AH=AE-EH=a．
解析
∴
又∵BE与圆O相切于点B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，
又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，
∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，
因此Rt△ABE中，cos∠E=
∴AH=AE-EH=a．
正确答案
3.2
解析
解：连接AO，∵PA为圆的切线，∴△PAO为Rt△，∴82+r2=（r+4）2，
∴r=6．
又CD垂直于PA，∴OA∥CD，∴
解得PD=3.2．
故答案为：3.2．
A
B
C
D
正确答案
解析
在三角形ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=R2+（4R）2-2R•4R×
∴cos∠BAC=
∴tan∠BAC=-2
则在A观察此卫星的仰角的正切值为tan∠CAD=tan（∠BAC-90°）=-
故选A．
（Ⅰ）求DE的长；
（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2
正确答案
解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，
∴DH=HE，
∴DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，
∴DH=4，
∴DE=2DH=8；
（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，
∴PC2=PD•PE，
即（2
∴PD=2．
解析
解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，
∴DH=HE，
∴DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，
∴DH=4，
∴DE=2DH=8；
（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，
∴PC2=PD•PE，
即（2
∴PD=2．
正确答案
解析
因为直线CD与圆O相切于M，
所以∠CMB=∠MAM，
因为AB为圆O的直径，MN⊥AB，
所以∠NMB=∠MAM，
所以∠CMB=∠NMB，
因为BC⊥CD于C，MN⊥AB，
所以△CMB≌△NMB，
所以CM=NM，
因为直线CD与圆O相切于M，AD垂直CD于D，BC⊥CD于C，AD=3，BC=1，
所以OM=2，
所以AB=4，
所以CD=
所以CM=
所以MN=
故答案为：
如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD等于______．
正确答案
5
解析
∴OE⊥BC．又∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥OE∥DC，又O是AD中点，
∴OE=
∴AD=2OE=5．
故答案为：5．
正确答案
3
解析
解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∴CD2=AD•DB．
∵AD=2DB，∴CD2=2DB2，
∵
∴AB=AD+DB=3．
∵E为AD的中点，∴ED=1．
在Rt△CDE中，
由相交弦定理可得：EA•EB=EC•EF，
∴1×2=
∴
故答案分别为3，
A2
B
C4
D
正确答案
解析
解：连接BC，设圆的直径是x
则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，
∴BC=
三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=
∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，
∴PC2=PB•PC=
∵PC=2 
∴x=4，则⊙O的直径AB为4．
故选C．
正确答案
解析
解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°
又∵AC=
∵PA=AC=
∴△PAC用余弦定理，
得PC=
即BC=PC，得A正确；
∵PA=AC，BC=PC，∴PC•AC=PA•BC，得B正确；
连接OC，可得
∵等腰△PAC中，∠PCA=30°且等边△ACO中，∠ACO=60°
∴∠OCP=90°，可得PC⊥OC，所以PC是圆O的切线，故C正确；
根据切割线定理，得BC2=PC2=PA•PB≠BA•BP，故D不正确．
故选：D
正确答案
解析
解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=
在△ABD中，
∴CF∥BD，
∴AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，
∴BD=
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（
∴x=
故答案为：
（I）求证：∠EAC=2∠DCE；
（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．
正确答案
（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．
由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（ AE-AB），即
AB2+2 AB-4=0，解得AB=
解析
（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．
由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（ AE-AB），即
AB2+2 AB-4=0，解得AB=
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