直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是线段OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的切线交OA的延长线于R，则RP、RQ的大小关系是______．

正确答案

RP=RQ

解析

解：连接OQ，如下图所示：

∵OQ=OB

∴∠OQB=∠OBQ

∵RQ为圆O的切线，OA⊥OB

∴∠BPO=90°-∠OBQ，∠BQR=90°-∠OQB

∴∠BPO=∠QPR=∠BQR，

即△RPQ为等腰三角形

∴RP=RQ

故答案为：RP=RQ

1

题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

切线AB与圆切于点B，圆内有一点C满足AB=AC，∠CAB的平分线AE交圆于D，E，延长EC交圆于F，延长DC交圆于G，连接FG．

（Ⅰ）证明：AC∥FG；

（Ⅱ）求证：EC=EG．

正确答案

证明：（Ⅰ）证明：∵AB切圆于B，

∴AB2=AD•AE，

又∵AB=AC，

∴AC2=AD•AE，

∴△ACD∽△AEC，

∴∠ACD=∠AEC，

又∵∠AEC=∠DGF，

∴∠ACD=∠DGF，∴AC∥FG （5分）

（Ⅱ）证明：连接BD，BE，EG

由AB=AC，∠BAD=∠DAC及AD=AD，知△ABD≌△ACD，同理有△ABE≌△ACE，

∴∠BDE=∠CDE，BE=CE

∴BE=EG，

∴EC=EG （10分）

解析

证明：（Ⅰ）证明：∵AB切圆于B，

∴AB2=AD•AE，

又∵AB=AC，

∴AC2=AD•AE，

∴△ACD∽△AEC，

∴∠ACD=∠AEC，

又∵∠AEC=∠DGF，

∴∠ACD=∠DGF，∴AC∥FG （5分）

（Ⅱ）证明：连接BD，BE，EG

由AB=AC，∠BAD=∠DAC及AD=AD，知△ABD≌△ACD，同理有△ABE≌△ACE，

∴∠BDE=∠CDE，BE=CE

∴BE=EG，

∴EC=EG （10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．

求证：（1）AE=CE；

（2）CD•CB=4DE2，

正确答案

解析

证明：（1）连接AD；

∵AB是圆的直径，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠A=90°，

∴AC是圆的切线；

又∵DE是圆的切线，

∴DE=AE，

∴∠ADE=∠EAD，

∴∠C=∠CDE，

∴CE=DE，

∴AE=CE．

（2）根据切割线定理得CA2=CD•CB；

∵由（1）得CA=2DE，

∴CD•CB=4DE2．

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题型：简答题

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简答题

如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于点DE，求证：BD=DE=EC．

正确答案

证明：如图，连接OD、OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°．

又∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°．

同理，△EOC是等边三角形，则∠EOC=60°．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°，

∴==，

∴BD=DE=EC．

解析

证明：如图，连接OD、OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°．

又∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°．

同理，△EOC是等边三角形，则∠EOC=60°．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°，

∴==，

∴BD=DE=EC．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB=AC且A，B，C，P四点共圆．

（1）求证：AC•DP=BD•PC

（2）若△ABC是面积为4的等边三角形，求AP•AD的值．

正确答案

（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC+∠APC=180°，

因为∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，

因为∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以=，

因为AB=AC，所以=．即AC•DP=BD•PC …（5分）

（2）解：因为△ABC是面积为4的等边三角形，

所以AB=AC=4，

因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，

又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．

由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，

又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以=，所以AP•AD=AC2=16．…（10分）

解析

（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC+∠APC=180°，

因为∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，

因为∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以=，

因为AB=AC，所以=．即AC•DP=BD•PC …（5分）

（2）解：因为△ABC是面积为4的等边三角形，

所以AB=AC=4，

因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，

又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．

由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，

又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以=，所以AP•AD=AC2=16．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O和⊙O‘都经过点A和点B，PQ切⊙O于点P，交⊙O'于Q、M，交AB的延长线于N，NM=1，MQ=3，则PN=______．

正确答案

2

解析

解：∵在⊙O‘中，NQ、NA是两条割线

∴NM•NQ=NB•NA

∵NM=1，MQ=3可得NQ=4

∴NB•NA=1×4=4

在⊙O中，NP切⊙O于点P

∴NP2=NB•NA=4⇒PN=2（舍负）

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

（2015春•广州校级期末）如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任一点，从P引两圆的切线PC、PD，若PC=2cm，则PD=______cm．

正确答案

2

解析

解：由切割线定理可得，PC2=PA•PB，PD2=PA•PB，

∴PC2=PD2，即PC=PD=2（cm）．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以AC为直径的圆交AB于点D，则BD=______；CD=______．

正确答案

解析

解：①∵∠ADC是直径AC所对的圆周角，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．

∴==．

②∵BC⊥AC，AC是圆的直径，∴BC是此圆的切线．

由切割线定理可得：BC2=BD×BA，∴42=5BD，解得．

故答案分别为，．

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题型：填空题

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填空题

如图，过圆外一点P作圆的两条割线，分别交圆于点A，B，C，D，PA=2，AB=4，CD=1，且圆心O恰在BC上，则该圆的半径长为______．

正确答案

解析

解：由题意，△PAC∽△PDB，

∴，

∵PA=2，AB=4，CD=1，

∴PC=3，=，

设AC=x，BD=2x，则

∵BC是直径，

∴x2+16=4x2+1，

∴x=，

∴BC=，

∴圆的半径长为．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PC切⊙O于C，PC=，BP=1，则⊙O的半径为（　　）

A

B

C1

D

正确答案

C

解析

解：连接OC，

∵PC切⊙O于C

∴∠OCP=90°，

设⊙O的半径是R，则OC=R，OP=R+1，PC=，

由勾股定理得：R2+3=（R+1）2，

解得：R=1，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR为等腰三角形．

（Ⅰ）求∠PQM的大小；

（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．

正确答案

解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，

∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R

∵∠MPQ=60°，

∴∠PMR=∠R=30°，

∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；

（Ⅱ）∵MN=NP，

∴∠NPM=30°，

∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，

∴PQ=3tan60°=3

∵MN=3，

∴MP=2×=3，

∵∠MPQ=60°，

∴QM=3．

解析

解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，

∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R

∵∠MPQ=60°，

∴∠PMR=∠R=30°，

∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；

（Ⅱ）∵MN=NP，

∴∠NPM=30°，

∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，

∴PQ=3tan60°=3

∵MN=3，

∴MP=2×=3，

∵∠MPQ=60°，

∴QM=3．

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题型：简答题

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简答题

如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连接AE，AF结分别与CD交于G，H．

（Ⅰ）设EF中点为C1，求证：O，C1，B，P四点共圆；

（Ⅱ）求证：OG=OH．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，

过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，

∴∠OC1P=∠PBO=90°，

∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，

过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，

连接D1C1，BC1，BF，

由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，

∴∠OBC1=∠D1FC1．

∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）

∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）

∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，

∴，∴OG=OH．…（10分）

解析

证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，

过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，

∴∠OC1P=∠PBO=90°，

∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，

过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，

连接D1C1，BC1，BF，

由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，

∴∠OBC1=∠D1FC1．

∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）

∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）

∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，

∴，∴OG=OH．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=3，BD=2，且D为OC的中点，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：延长CO交圆O于E，则CE是圆O的直径

∵D为OC的中点，CE=2OC

∴CE=4CD⇒DE=3CD

设CD长为x，DE长为3x

根据相交弦定理，得AD•BD=ED•CD

∴3×2=x•3x=3x2⇒x2=2

∴x=，即CD=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，AF∥BD交CD于点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BD的长为______．

正确答案

解析

解：∵直线PB切圆O于点B，PDC是圆O的割线

∴PB2=PD×PC，得（）2=1×（1+CD），

解得CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3

∵∠PBD=∠PCB，∠BPD=∠CPB

∴△BPD∽△CPB，可得

设BD=x，则CB=x，设AF、BC的交点为G

∵AE∥BD，得，

∴GE=BD=x；CG=CB=x，BG=x，

平等四边形ABDE中，AE=BD=x，得AG=AE-GE=x

由相交弦定理，得AG•GF=CG•BG，即x•GF=x•x

解得GF=x，可得EF=GF-GE=x-x=x

又∵AE•EF=CE•ED，AE=EF=x，CE=1且ED=3

∴x2=1×3=3，解之得x=，即BD的长为

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆O的切线l，则点A到直线l的距离AD=______．

正确答案

解：∵圆O的直径AB=6，BC=3

∴∠BAC=30°，线段AC=3，

又∵直线l为圆O的切线，

∴∠DCA=∠B=60°

∴AD=．

故答案为：．

解析

解：∵圆O的直径AB=6，BC=3

∴∠BAC=30°，线段AC=3，

又∵直线l为圆O的切线，

∴∠DCA=∠B=60°

∴AD=．

故答案为：．

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