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题型：简答题

简答题

在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP⊥直线OQ，求x的值．

正确答案

∵P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），

∴=（2cosx+1，2cos2x+2，0），=（cosx，-1，3），

又∵直线OP⊥直线OQ，可得⊥，

∴•=cosx（2cosx+1）-（2cos2x+2）+0×3=0，

即2cos2x+cosx-2cos2x-2=0，可得2cos2x+cosx-2（2cos2x-1）-2=0，

化简整理得-2cos2x+cosx=0，解之得cosx=0或，

又∵x∈[0，π]，

∴x=或．

题型：填空题

填空题

棱长为a的正四面体中，•+•=______．

正确答案

棱长为a的正四面体中，AB=BC=a，且与的夹角为120°，AC⊥BD．

∴•+•=a•acos120°+0=-，

故答案为：-．

题型：填空题

填空题

若向量=（4，2，-4），=（6，-3，2），则（2-3）•（+2）=______．

正确答案

∵2-3=(-10，13，-14)，+2=(16，-4，0)

∴(2-3)•(+2)=-10×16+13×（-4）=-212

故答案为-212

题型：填空题

填空题

已知直线l1，l2的方向向量分别为=（1，2，-2），=（-2，3，k），若l1⊥l2，则实数k=______．

正确答案

∵直线l1，l2的方向向量分别为=（1，2，-2），=（-2，3，k），

若l1⊥l2，

则⊥，即•=0，

∴（1，2，-2）•（-2，3，k）=-2+6-2k=4-2k=0，

解得k=2．

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于45°．

（1）求x1+y1和x1y1的值；

（2）求＜，＞的大小．

正确答案

（1）∵单位向量=(x1，y1，0)与向量=(1，1，1)的夹角等于45°

∴||==1，cos45°==（x1+y1）=

∴x1+y1=，x1?y1=-

（2）同理可知x2+y2=，x2?y2=-

∴x1?x2=-，y1?y2=-

cos＜，＞==x1?x2+y1?y2=-

∴＜，＞=120°

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下一知识点 : 运用数量积判断空间向量的垂直

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