热门试卷

特征多项式f(λ)==(λ-2)2-1=λ2-4λ+3，（3分）

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3．（6分）

将λ1=1代入特征方程组，得⇒x+y=0．

可取为属于特征值λ1=1的一个特征向量．（8分）

将λ2=3代入特征方程组，得⇒x-y=0．

可取为属于特征值λ2=3的一个特征向量．

综上所述，矩阵有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1=1的一个特征向量为，

属于λ2=3的一个特征向量为．（10分）

（1）由题意，M11==Asinxcosx=sin2x，M21=-=-Acos2x+=-cos2x…（2分）

∴f(x)=sin2x-cos2x=sin(2x-)…（3分）

∴fmax==4，∴A=4…（1分）

（2）向左移得y=4sin(2x-)，…（2分）

横坐标变为原来2倍得g(x)=4sin(x-)…（1分）

∵x∈(-，)，∴x-∈(-，)…（1分）

∴g(x)=4sin(x-)∈(-2，4]…（3分）

（1）因为MN==，NM==，

所以M和N互为逆矩阵．（4分）

（2）向量e1=在M的作用下，其像与其保持共线，即==，

向量e2=在M的作用下，其像与其保持共线，即=，

所以e1和e2是M的特征向量．（10分）

特征多项式 f（λ）==λ（λ-2）+3=λ2-2λ+3，（3分）

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3．（6分）

将λ1=1代入特征方程组，得 ⇒x+y=0．

可取 为属于特征值λ1=1的一个特征向量．（8分）

将λ2=3代入特征方程组，得 ⇒x-y=0．

可取 为属于特征值λ2=3的一个特征向量．

综上所述，矩阵有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1=1的一个特征向量为 ，

属于λ2=3的一个特征向量为 ．（10分）

3， ；-1，

由题意得: …………2分

特征值3对应特征向量为…………5分

特征值-1对应特征向量为…………7分

=（-2）•0•3+4•5•5+（-5）•4•5-5•0•5-5•4•（-2）-4•（-5）•3=100．

设M（x，y）

则 =，

∴

解得

∴M（-1，2）

特征多项式f（λ）==λ2-2λ-8，（3分）

由f（λ）=0，解得λ1=4，λ2=-2．（6分）

将λ1=4代入特征方程组，得 5x1-2y1=0．

可取 为属于特征值λ1=4的一个特征向量．（8分）

将λ2=-2代入特征方程组，得 x+2y=0．

可取 为属于特征值λ2=-2的一个特征向量．

综上所述，矩阵M有两个特征值λ1=4，λ2=-2；属于λ1=4的一个特征向量为 ，

属于λ2=-2的一个特征向量为 ．（10分）

（1）M-1=．（5分）

（2）任意选取椭圆+=1上的一点P（x0，y0），它在矩阵M-1=

对应的变换下变为P'（x0′，y0′），则有=，故．

又因为点P在椭圆+=1上，所以+=1，即有+=1，

因此x0'2+y0'2=1．

从而椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．（10分）