热门试卷

由题意得…6分

化简得

所以…10分

f（λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ2-5λ-14=（λ-7）（λ+2）

由f（λ）=0可得：λ1=7，λ2=-2． （4分）

由，可得，所以属于λ1=7的一个特征向量为 （7分）

由，可得，所以属于λ1=-2的一个特征向量为． （10分）

（1） （2）

（Ⅰ） 

（Ⅱ）矩阵A的特征多项式为

 ，解得

当时，得；当时，得，

由，得，得

∴

矩阵M的特征多项式为 f(λ)==λ2-3λ-4，（2分）

令f（λ）=0，解得λ1=-1，λ2=4，（4分）

将λ1=-1代入二元一次方程组解得x=-y，（6分）

所以矩阵M属于特征值-1的一个特征向量为；（8分）

同理，矩阵M属于特征值4的一个特征向量为（10分）

设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，

因为是矩阵A的属于λ1=1的特征向量，则有=①，

又因为是矩阵A的属于λ2=2的特征向量，则有=②，

根据①②，则有从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=，（6分）

根据题意 ，  分别是矩阵A-1属于特征值1，的特征向量，

不妨设A-1=，则有==，

则得从而e= ，f= ，g=0 ，h=1，因此A-1=．（10分）

（1）∵a42=，a43=，且每横行成等差数列，

∴a4j=a42+(j-2)(-)=j，

∴a44==，

又∵a24=1，a44=，

∴q=（∵q＞0）

∴aij=a4j()i-4=；

（2）bi1=×1+×2+×3+…+×n

=(12+22+32+…+n2)=bi2=×3+×32+×33+…+×3n①

∴3bi2=×32+×33+…+×3n+×3n+1②

②-①得 2bi2=-(32+33+…+3n)+×3n+1-×3=-×+×3n+1-×3=[(2n-1)3n+1+3]

∴bi2=[(2n-1)3n+1+3]．

（ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾．

（ⅱ）由抽届原理知

，，

中至少有两个值取在同一列．不妨设

，．

由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字．

记，令集合

．

显然且1，2．因为，，，所以．

故．于是存在使得．显然，，2，3．

下面证明数表

具有性质．

从上面的选法可知，．这说明

，．

又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质．

下证唯一性．设有使得数表

具有性质，不失一般性，我们假定

⑷

．

由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．

如果成立，由数表具有性质，则

，

⑸，

．

由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而．