- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝
(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
正确答案
（1）见解析 （2）
(1)证明 法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由
∵
∴
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，A1C⊄平面BB1D1D，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝
∴AC2＝
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．
∵
∴
∴
取n＝(0,1，－1)，由(1)知，
∴cos θ＝|cos〈n，
又∵0≤θ≤
如图，在三棱柱
求证：
正确答案
证明略
试题分析：要证直线与平面平行，根据线面平行判定定理要转化为直线与直线平行，如图本题中不难发现点E为B1C的中点，帮DE为三角形AB1C的中位线.此题是一道位置关系证明题，要证直线与平面平行，根据判定定理不难得到转化为直线与直线平行，往往有两种构造手段：一是得用三角形中位线；二是由平行四边形的平行关系。如本题就是第一种.
试题解析：连接B１C交BC１于点E，连接DE．则E为B1C的中点，故DE是三角形AB1C的中位线，则DE//AB1，又因为 ，所以：
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
正确答案
（1）见解析 （2）
(1)证明 以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，
设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，
则D(0，m,0)，E(
可得
因为
所以PE⊥BC．
(2)解 由已知条件可得m＝－
故C(－
E(
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则
因此可以取n＝(1，
由
可得|cos〈
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
已知直线l⊥平面α，直线mÍ平面β，则下列四个命题：
①若α∥β,则l⊥m； ②若α⊥β,则l∥m；
③若l∥m,则α⊥β； ④若l⊥m,则α∥β.
其中正确命题的序号是
正确答案
①③
试题分析：对于①，若α∥β，因为l⊥平面α，故l⊥平面β，又mÍ平面β，所以l⊥m，①正确；对于②，如下图，设平面
如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长AB=1.
（Ⅰ）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；（Ⅱ）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．
正确答案
（Ⅰ）
试题分析：（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义，易知图中
试题解析：（Ⅰ）因为B1C//A1D，所以
（Ⅱ）
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