热门试卷

（Ⅰ）见解析；

（II）当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）通过连接，应用三角形的中位线定理得到证明得到 面．

（II）利用空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，而平面的法向量，得到，确定出点在线段的中点时，二面角的余弦值为.解答此类问题，要注意发现垂直关系，建立适当地直角坐标系，以简化解题过程.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，

由三角形的中位线定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如图空间直角坐标系，

在中，斜边,得，所以，.

设，得.

设平面的一个法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由题意，即，

解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

（2）

试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，

故.

取中点连结， 则， 又面面，

面面， 面， 从而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ，，

.

设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.

又为面的一个法向量，∴.

∴二面角的余弦值为.

（法二）如图，取的中点，的中点，连结.

易知，又，，又，.

又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值为.

点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

（1），（2）

试题分析：法一：空间向量法。（1）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标，再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量所成角的余弦值，但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角，所以两异面和所成角的余弦值为向量所成角的余弦值的绝对值。（2）根据题意设，根据，可得的值，根据比例关系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根据异面直线所成角的定义可过点作//交于，则（或其补角）就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形，则，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，过作，为垂足。易得证平面，可得，从而易得证//，可得，即可求的值。

试题解析：解法一：

（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，

则故

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设

在平面内过点作，为垂足，则

，∴

解法二：

（1）在平面内，过点作//交于，连结，则（或其补角）就是异面直线与所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（2）在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.

（1）见解析（2）

(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.

∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC.

(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，

则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为