- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
如图,在直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB="4," BC="CD=2, " AA
="2, " E、E
、F分别是棱AD、AA
、AB的中点。
(1) 证明:直线EE//平面FCC
;
求二面角B-FC-C的余弦值。
正确答案
(1)在直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,取A1B1的中点F1,
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB="4," CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA
的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC
,
平面FCC
,
所以直线EE//平面FCC
.
(2)因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC
-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,
,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵
∴
,
在Rt△OPF中,,
,所以二面角B-FC
-C的余弦值为
.
解法二:(1)因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(
,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,
,0),E1(
,-1,1),所以
,
,
设平面CC1F的法向量为
则
所以
取
,则
,所以
,所以直线EE
//平面FCC
.
(2),设平面BFC1的法向量为
,则
所以
,取
,则
,
,
,
所以,由图可知二面角B-FC
-C为锐角,所以二面角B-FC
-C的余弦值为
略
如图所示,在四棱锥中,底面
为矩形,
平面
,点
在线段
上,
平面
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)若,
,求二面角
的正切值.
正确答案
(1)对于线面垂直的证明,一般要通过线线垂直来分析证明,关键是对于,
(2)3
试题分析:解析:(Ⅰ)因为平面
,
平面
,所以
.又因为
平面
,
平面
,所以
.而
,
平面
,
平面
,所以
平面
.
5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面
,而
平面
,所以
,而
为矩形,所以
为正方形,于是
.
法1:以点为原点,
、
、
为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系
.则
、
、
、
,于是
,
.设平面
的一个法向量为
,则
,从而
,令
,得
.而平面
的一个法向量为
.所以二面角
的余弦值为
,于是二面角
的正切值为3. 13分
法2:设与
交于点
,连接
.因为
平面
,
平面
,
平面
,所以
,
,于是
就是二面角
的平面角.又因为
平面
,
平面
,所以
是直角三角形.由
∽
可得
,而
,所以
,
,而
,所以
,于是
,而
,于是二面角
的正切值为
.
点评:主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明,以及二面角的平面角的求解,属于中档题。
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,且满足A1N=
NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证:MN⊥MC,MP⊥B1C.
正确答案
证明略
设=a,
=b,
=c
则a、b、c两两垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0,
又∵=
NB1
∴=
=
b,
=
+
=
a+
b,
=
+
+
=-
a+b+c,
∴·
=(
a+
b)·(b+c-
a)
=-
=0.
∴MN⊥MC,
又=
+
=
+
(b+c)=
(a+b+c),
=
+
=-a+c.
∴·
=
(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B1C.
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△,使得平面
⊥平面ABD.
(Ⅰ)求证:平面ABD;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
正确答案
(Ⅰ)先证 (Ⅱ)
(Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,
沿直线BD将△BCD翻折成△
可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,
即,
故.
∵平面⊥平面
,平面
平面
=
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且
,
如图,以D为原点,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
.
∵E是线段AD的中点,
∴,
.
在平面中,
,
,
设平面法向量为
,
∴,即
,
令,得
,故
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为
,
而平面的法向量为
,
∴,
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
点评:本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角,以及翻折问题,学生必须要掌握在翻折的过程中,哪些是不变的,哪些是改变,这也是解决此类问题的关键.
如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
正确答案
(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),
A(0,-3,0),B(3
,0,0),D(0,-3
,8),
E(0,0,8),F(0,3,0),
∴=(-3
,-3
,8),
=(0,3
,-8).
cos〈,
〉=
=
=-
.
设异面直线BD与EF所成角为,则
cos=|cos〈
,
〉|=
.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为.
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