矩阵与变换
共736题

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矩阵与变换
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题型：简答题

简答题

矩阵M满足，设矩阵A=M5，求向量经过矩阵A变换后得到的向量β．

正确答案

解：∵，

∴M=，∴M2=2=，

∴A=M5=5=，

∴==

解析

解：∵，

∴M=，∴M2=2=，

∴A=M5=5=，

∴==

题型：简答题

简答题

设矩阵M=（其中a＞0，b＞0）．

（1）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：+y2=1，求a，b的值；

（2）若a=2，b=3，=，求M3．

正确答案

解：（1）由=M得…2分

将式代入曲线C′的方程得…3分

∴，

∵a＞0，b＞0，

∴a=2，b=1；…6分

（2）当a=2，b=3时矩阵M的特征多项式方程为f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0…7分

∴λ1=2，λ2=3…8分

又属于λ1=2的一个特征向量为=；属于λ2=3的一个特征向量为=．…10分

而=+2，

∴=1•23+2•33=．…13分．

解析

解：（1）由=M得…2分

将式代入曲线C′的方程得…3分

∴，

∵a＞0，b＞0，

∴a=2，b=1；…6分

（2）当a=2，b=3时矩阵M的特征多项式方程为f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0…7分

∴λ1=2，λ2=3…8分

又属于λ1=2的一个特征向量为=；属于λ2=3的一个特征向量为=．…10分

而=+2，

∴=1•23+2•33=．…13分．

题型：填空题

填空题

定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中O是坐标原点．已知，则的坐标为______．

正确答案

（1，2009）

解析

解：由题意，

∴向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，1为公差的等差数列

∴的坐标为（1，2009）

故答案为（1，2009）

题型：简答题

简答题

三题中任选两题作答

（1）（2011年江苏高考）已知矩阵，向量，求向量α，使得A2α=β

（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．

①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； ②试判定直线l和圆C的位置关系．

（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．

正确答案

解：（1）、A2==，设向量=，由 A2= 可得

=，

∴，解得 x=-1，y=2，

∴向量=．

（2）①直线l的参数方程为，（t为参数）

圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（6分）

②因为M（4，）对应的直角坐标为（0，4）

直线l化为普通方程为x-y-5-=0

圆心到l的距离d==＞4，

所以直线l与圆C相离．（10分）

（3）∵正数a，b，c满足a+b+c=1，

∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即≥1

当且仅当a=b=c=时，取等号

∴当a=b=c=时，的最小值为1．

解析

解：（1）、A2==，设向量=，由 A2= 可得

=，

∴，解得 x=-1，y=2，

∴向量=．

（2）①直线l的参数方程为，（t为参数）

圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（6分）

②因为M（4，）对应的直角坐标为（0，4）

直线l化为普通方程为x-y-5-=0

圆心到l的距离d==＞4，

所以直线l与圆C相离．（10分）

（3）∵正数a，b，c满足a+b+c=1，

∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即≥1

当且仅当a=b=c=时，取等号

∴当a=b=c=时，的最小值为1．

题型：简答题

简答题

已知点A（-1，0），点B （1，0），点P（x+1，y）在x轴的下方，设a=，b=，c=，d=||，且=0．

（1）求a、b、c关于x、y的表达式；

（2）求y关于x的函数关系式y=f（x），并求当y取得最小值时P点的坐标．

正确答案

解：（1）因为=（-x-2，-y），=（-x，-y），

所以a==x2+y2+2x，…（2分）

=（x+2，y），=（2，0），b==2x+4，…（3分）

=（x，y），=（-2，0），c==-2x，…（4分）

d==2，…（5分）

（2）因为=0，所以2（x2+y2+2x）-（2x+4）（-2x）=0，即：3x2+y2+6x=0，…（7分）

由于点P（x+1，y）在x轴的下方，所以y=-，（-2＜x＜0）

y=-=-，（-2＜x＜0）…（10分）

所以当x=-1时，ymin=-，此时P（0，-）…（12分）

解析

解：（1）因为=（-x-2，-y），=（-x，-y），

所以a==x2+y2+2x，…（2分）

=（x+2，y），=（2，0），b==2x+4，…（3分）

=（x，y），=（-2，0），c==-2x，…（4分）

d==2，…（5分）

（2）因为=0，所以2（x2+y2+2x）-（2x+4）（-2x）=0，即：3x2+y2+6x=0，…（7分）

由于点P（x+1，y）在x轴的下方，所以y=-，（-2＜x＜0）

y=-=-，（-2＜x＜0）…（10分）

所以当x=-1时，ymin=-，此时P（0，-）…（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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