- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P。
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长。
正确答案
解：（1）连接AB，
∵ AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E
∴AD∥EC。
（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB·PD
∴62=PB·（PB+9）
∴PB=3
又⊙O2中由相交弦定理，得PA·PC= BP·PE，
∴PE =4
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB·DE =9×16
∴AD=12。
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OD，可得
∴OD∥AE，又AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
（Ⅱ）解：过点D作DH⊥AB于H，
则有
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
由△AED∽△ADB可得，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF可得
∴
如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，圆O是△BDE的外接圆，
(Ⅰ)求证：AC是圆O的切线；
(Ⅱ)如果AD=6，AE=6
正确答案
(Ⅰ)证明：连接OE， 因为OE=OB，
所以∠OEB=∠OBE，
又因为BE平分∠CBD，
所以∠CBE=∠DBE，
所以∠OEB=∠CBE，
所以EO∥CB，
因为∠C=90°，
所以∠AEO=90°，即AC⊥OE，
因为E为圆O半径OE的外端，
所以AC是圆O的切线。
(Ⅱ)解：因为AC是圆O的切线，所以AE2=AD·AB，
因为AE=6
所以
因为EO∥CB，
所以
所以
如图所示，AB是圆O的直线，BC，CD是圆O的切线，B，D为切点．
(Ⅰ)求证：AD∥OC；
(Ⅱ)若圆O的半径为1，求AD·OC的值．
正确答案
解：(Ⅰ)如图，连结BD，OD，
∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，∠2+∠3=90°，
又AB为圆O的直径，
∴AD⊥DB，∠1+∠2= 90°，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC。
(Ⅱ)AO=OD，则∠1=∠A=∠3，
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD-OC=AB·OD=2。
（选做题）
如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．
正确答案
证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．
∠POF=2∠OAF，而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，
∴∠POF=∠PEC
又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC
在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，∠PGC=∠PEC，
∴△PGC∽△FOC，
∴PC·OC=GC·FC，
又CD2=GC·FC，
∴PC·OC=CD2∴△PDC∽△DOC．
∴∠PDC=∠DOC，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠PDC+∠ODC=90°，
∴PD是⊙O的切线．
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