热门试卷

解：连结CE，

∵，

∴，

又∵PA与⊙O相切于点A，

∴

∴，

∴

∵BC为⊙O的直径，

∴，

可解得，

又∵AE平分∠BAC，

∴，

又∵，

∴，

∴

。

解：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

又∠BAE=∠EDC，

∵BD∥MN，

∴∠EDC=∠DCN，

∵直线是圆的切线，

∴∠DCN=∠CAD，

∴∠BAE=∠CAD，

∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。

（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，

∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，

∴BC=BE=4，

设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC，

∴，

又AE·EC=BE·ED，EC=6-x，

∴，。

解：根据题意，设P(4，t)，

(1)设两切点为C、D，则OC⊥PC，OD⊥PD，

由题意可知，，

即，解得t=0，

所以点P的坐标为(4，0)，

在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，

所以两切线所夹劣弧长为；

(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，Q(1，0)，

依题意，直线PA经过点A(-2，0)，P(4，t)，

可以设直线AP的方程为和圆联立，得到，

代入消元得到，，

因为直线AP经过点A(-2，0)、M(x1，y1)，所以-2、x1是方程的两个根，

所以有，

代入直线方程，得，

同理，设直线BP的方程为，联立方程有，

代入消元得到，

因为直线BP经过点B(2，0)、N(x2，y2)，所以2、x2是方程的两个根，

所以有，

代入得到，

若，则，此时，，

显然M、Q、N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q(1，0)；

若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有

，

所以，所以M、N、Q三点共线，

即直线MN经过定点Q(1，0)；

综上所述，直线MN经过定点Q(1，0)。