- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
（选做题）
如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2的延长线相交于点C，延长AP交⊙O2于点D，点E在AD的延长线上。
（Ⅰ）求证：△ABP是直角三角形；
（Ⅱ）若AB·AC=AP·AE，AP=4，
正确答案
证明：（Ⅰ）过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得
∴△PAB为直角三角形；
（Ⅱ）∵
∴
又
∴
∴
即
由切割线定理，
∴
∴
如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F。
（1）证明：E是BC的中点；
（2）证明：AD·AC=AE·AF。
正确答案
解：（1）连接
所以
又
所以
因此
所以
得
因此
即E是BC的中点。
（2）连接
于是有
同理可得
所以
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD，
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
（1）证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是圆的半径，
∴AB是圆的切线．
（2）解：ED是直径，∴∠ECD=90°，
∴
又
∴
又
∴△BCD∽△BEC，∴
设BD=x，则BC=2x，
∴
∴
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E，
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求
正确答案
解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△APC∽△PBA，
∴
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C，
∴∠APC=∠C=∠BAP，
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°，
∴∠C=∠APC=∠BAP=
在Rt△ABC中，
∴
∴
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P，
（Ⅰ）证明：OM·OP=OA2；
（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明：∠OKM=90°。
正确答案
（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，
又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，
由射影定理知，
（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，
同（Ⅰ），有
又OB=OA，
所以
又
所以
故
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