集合与函数的概念_章节学习

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题型：简答题

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简答题

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（1）试判断f1（x）=-2及f2（x）=4-6⋅（）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；

（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．

正确答案

（1）∵当x=49时f1（49）=5∉[-2，4）

∴f1（x）不在集合A中（3分）

又∵f2（x）的值域[-2，4），

∴f2（x）∈[-2，4）

当x≥0时f2（x）为增函数，

因为y=⋅（）x是减函数，所以f2（x）=4-6⋅（）x（x≥0）是增函数，

∴f2（x）在集合A中（3分）

（2）∵f2（x）+f2（x+2）-2f2（x+1）

=4-6()x+4-6()x+2-2[4-6(

1

2

)x+1]

=6[2(

1

2

)x+1-(

1

2

)x-(

1

2

)x+2]=-6()x+2＜0(x≥0)

∴f2（x）对任意x≥0，不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）总成立（6分）

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题型：填空题

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填空题

集合S={1，2，3，…，10}的四元子集T={a1，a2，a3，a4}中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的四元子集T的个数为______．（用数字作答）

正确答案

不妨设 a1＜a2＜a3＜a4，由于任意两个元素的差的绝对值都不为1，

故a2-a1≥2，a3-a2≥2，a4-a3≥2，将a2，a3，a4分别减去1，2，3，后，

这时，a1，a2-1，a3-2，a4-3是两两不等且至少相差1的4个正整数，

故 a1，a2-1，a3-2，a4-3相当于从1，2，3，4，5，6，7中任意选出的4个，

故所有的取法种数是 C74=35．

故答案为35．

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题型：填空题

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填空题

如图，已知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，4，5，6，8}，

∁U（A∪B）={1，10}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为______．

正确答案

因为U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，4，5，6，8}，

∁U（A∪B）={1，10}，所以A∪B={2，3，4，5，6，7，8，9}，

由图示可知：B={7，9}．

故答案为：{7，9}

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题型：简答题

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简答题

已知集合A={x|x=+，ab≠0，a∈R，b∈R}

（1）用列举法写出集合A；

（2）若B={x|mx-1=0，m∈R}，且B⊆A，求m的值．

正确答案

（1）①当a＞0、b＞0时，x=+=2；

②当a＜0、b＜0时，x=+=-2；

③当ab＜0时，x=-1+1=0．

综上①②③可知：A={0，-2，2}．

（2）①若m=0时，则B=∅，满足B⊆A，适合题意；

②当m≠0时，B={}．

∵B⊆A，∴B={-2}或{2}．

∴=-2或2．解得m=-或．

综上可知：m=0，-或．

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题型：填空题

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填空题

0 ______φ．

正确答案

∵空集是不含任何元素的集合，

∴元素0与集合之间的关系是：

0不属于空集，

即：0∉φ．

故答案为：∉

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题型：简答题

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简答题

已知集合A={x|ax2+2x+1=0}．

（1）若A中只有一个元素，求a的值；

（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

正确答案

（1）当a=0时，A={x|2x+1=0}={-}，符合条件；

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，

则方程ax2+2x+1=0只有一个实数解，所以△=4-4a=0⇒a=1．

所以，a的值为0或1．

（2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A=φ．

由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；

若A=φ，则方程ax2+2x+1=0无实数解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．

所以，a≥1或a=0．

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题型：简答题

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简答题

设集合A={0，1，2}，写出集合A的所有子集．

正确答案

集合{1，2}的所有子集为∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}，{1，2}、{0，1，2}

故答案为：∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}，{1，2}、{0，1，2}

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题型：填空题

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填空题

用列举法描述集合{x|x2-3x-4＜0}，x∈Z=______．

正确答案

{x|x2-3x-4＜0，x∈Z}={x|（x+1）（x-4）＜0，x∈Z}={x|-1＜x＜4，x∈Z}={0，1，2，3}．

故答案为{0，1，2，3}．

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题型：简答题

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简答题

试选择适当的方法表示下列集合：

（1）直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的点的集合；

（2）一年之中的四个季节组成的集合；

（3）方程x2+x-1=0的实数解组成的集合；

（4）满足不等式1＜1+2x＜19的素数组成的集合。

正确答案

解：（1）{(x，y)|y=x}；

（2）{春季，夏季，秋季，冬季}；

（3）；

（4）{2，3，5，7}。

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题型：简答题

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简答题

已知集合A={x？x2+（a-1）x-a＞0}，B={x？（x+a）（x+b）＞0}，其中a≠b，M={x？x2-2x-3≤0}，全集I=R．

（1）若=M，求a、b的值；

（2）若a＞b＞-1，求A∩B；

（3）若a2+∈，求a的取值范围．

正确答案

（1）A={x|（x-1）（x+a）＞0}，M={x|-1≤x≤3} …（2分）

={x|（x+a）（x+b）≤0} …（3分）

若=M，则a=1，b=-3或a=-3，b=1．…（6分）

（2）∵a＞b＞-1，∴-a＜-b＜1

故A={x|x＜-a或x＞1}，B={x|x＜-a或x＞-b }…（8分）

因此A∩B={x|x＜-a或x＞1}．…（10分）

（3）={x|（x-1）（x+a）≤0}，

由a2+∈得：（a2-）（ a2++a）≤0，…（12分）

解得：a=-或-≤a≤，

∴a的取值范围是{x|a=-或-≤a≤}．…（14分）

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题型：填空题

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填空题

已知非空集合，则的取值范围是____________。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

若规定的子集为E的第k个子集，其中，则E的第211个子集是______________

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知全集U={0，1，2，3，4，5}，A⊆U，B⊆U，（CuA）∩B={0，4}，（CuA）∩（CuB）={3，5}，则用列举法表示集合A=______．

正确答案

∵（CuA）∩B={0，4}，（CuA）∩（CuB）={3，5}，

将集合CuA的元素分成两类：一类是属于B的，另一类是不属于B的

可得CuA=[（CuA）∩B]∪[（CuA）∩（CuB）]

∴CuA={0，4}∪{3，5}={0，3，4，5}，

∵全集U={0，1，2，3，4，5}，

∴A=Cu（CuA）={1，2}

故答案为：{1，2}

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题型：填空题

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填空题

（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：

（1）Z+∪Z-（2）R+∪R-（3）{|n∈N*}

（4）{|n∈N*}

以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）．

正确答案

（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z-的聚点；

（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a

∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；

（3）中，集合{|n∈N*}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，

∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，

∴0不是集合{|n∈N*}的聚点；

（4）集合{|n∈N*}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a

∴0是集合 {|n∈N*}的聚点

故答案为（2）（4）

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题型：填空题

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填空题

下列表示正确有______．

（1）a⊆{a}；

（2）{a}∈{a，b}；

（3）{a，b}⊆{b，a}；

（4）{-1，1}{-1，0，1}；

（5）∅{-1，1}．

正确答案

对于①a⊆{a}，根据元素与集合之间的关系易知不正确；

对于②{a}∈{a，b}，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；

对③{a，b}⊆{b，a}，根据集合是它本身的子集，易知正确；

对④{-1，1}{-1，0，1}，根据集合与集合之间的关系易知正确；

对⑤∅{-1，1}，根据空集与任一个非空集合之间的关系易知正确；

故答案为：（3）（4）（5）．

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