- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则10a+2b+c等于______．
正确答案
21
解析
解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入10a+2b+c=21，
故答案为：21
已知a、b为实数，集合M={
正确答案
解析
解：∵M=N，
∴a=1，
解得a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：C．
已知集合A={1，1+d，1+2d}，B={1，r，r2}，其中d≠0，r≠1，当d、r满足什么条件时，A=B？并求出这种情形下的集合A．
正确答案
解：若
若
∴d=-
解析
解：若
若
∴d=-
下列各选项中，集合M与P表示同一集合的是（ ）
正确答案
解析
解：M，P均表示点集，而（1，-3），（-3，1）表示两个不同的点，故M≠P；
∅没有任何元素，而{0}有一个元素0，故M≠P；
M是一个数集，P是一个点集，故M≠P；
M=[1，+∞），P=[1，+∞），故M=P
故选D
设S1、S2、S3是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果x∈Si，y∈Sj，则x-y∈Sk，证明：S1、S2、S3中必有两个集合相等．
正确答案
解析
证明：若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），
不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S3，矛盾）；
但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾．
∴三个集合中必有一个集合含有0．
∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x-0=x∈S3，
∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y-0=y∈S2，
∴S3包含于S2，则S2=S3．
综上所述，这三个集合中必有两个集合相等．
已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______．
正确答案
0或
解析
解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，
当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=
所以实数a=0或
故答案为：0或
已知a，b，c∈（0，1）且
正确答案
解析
解：由a，b，c∈（0，1）得
故答案为：
设非空集合A={x|-1≤x≤m}，集合S={y|y=x+1，x∈A}，T={y|y=x2，x∈A}求使S=T成立的实数m的所有可能值．
正确答案
解：由于m≥-1，则S={y|y=x+1，x∈A}={y|0≤y≤m+1}，
当S=T时，即y=x2取得最小值0，则m≥0，
当x=-1时，x2=1；当x=m时，x2=m2．
当m≥1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤m2|，由S=T，得m2=m+1，解得，m=
当0≤m＜1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤1|，由S=T，得m+1=1，解得，m=0．
综上，可得使S=T成立的实数m的所有可能值为：0，
解析
解：由于m≥-1，则S={y|y=x+1，x∈A}={y|0≤y≤m+1}，
当S=T时，即y=x2取得最小值0，则m≥0，
当x=-1时，x2=1；当x=m时，x2=m2．
当m≥1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤m2|，由S=T，得m2=m+1，解得，m=
当0≤m＜1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤1|，由S=T，得m+1=1，解得，m=0．
综上，可得使S=T成立的实数m的所有可能值为：0，
设M={1，1+d，1+2d}，N={1，q，q2}，且M，N为同一集合，试求实数d，q，并写出集合M．
正确答案
解：根据题意：
解得
即q=
∴
解析
解：根据题意：
解得
即q=
∴
已知集合A={a，a+d，a+2d}，B={a，aq，aq2}，其中a，d，q∈R，若A=B，求q的值．
正确答案
解：由元素的互异性可知：d≠0，q≠±1，a≠0，而A=B．
∴
由方程组①解得q=1，应舍去；
由方程组②解得q=1（应舍去）或-
综上可知：q=-
解析
解：由元素的互异性可知：d≠0，q≠±1，a≠0，而A=B．
∴
由方程组①解得q=1，应舍去；
由方程组②解得q=1（应舍去）或-
综上可知：q=-
有限集合P中元素的个数记作card（P）．已知card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足A⊆X⊆M，则集合X的个数是______；若集合Y满足Y⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，则集合Y的个数是______．（用数字作答）
正确答案
256
672
解析
解：∵card（M）=10，card（A）=2，集合X满足A⊆X⊆M
∴当A=X时有一种；A≠X时有28-1种，相加即256；
∵集合Y满足Y⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3
∴集合Y的个数是25×（22-1）×（23-1）=672种
故答案为：256，672
若集合A={x|ax2-ax+1=0}=∅，则实数a组成的集合是______．
正确答案
{a|0≤a＜4}
解析
解：（1）当a=0时，不等式可得化为1=0，解集A=∅，符合题意；
（2）当a≠0时，必有△=a2-4a＜0，解得0＜a＜4，
综合（1）（2）可得：0＜a≤4，
故答案为：{a|0≤a＜4}．
已知集合{x|x2-2mx+2=0}=∅，则实数m的取值范围为______．
正确答案
解析
解：∵集合{x|x2-2mx+2=0}=∅，
∴x2-2mx+2=0无解，
∴△=（-2m）2-8＜0，解得
∴实数m的取值范围为
故答案为
已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，B={x|x2+2ax-2a=0}，C={x|x2+（a-1）x+a2=0}．
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围；
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，求a的取值范围．
正确答案
解：对于A，若为空集，则（4a）2-4（3-4a）＜0，解得
对于B，若为空集，则（2a）2+8a＜0，解得-2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a-1）2-4a2＜0，解得a＜-1或
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有
a的范围是（-2，-1）∪（-1，0）∪（
解析
解：对于A，若为空集，则（4a）2-4（3-4a）＜0，解得
对于B，若为空集，则（2a）2+8a＜0，解得-2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a-1）2-4a2＜0，解得a＜-1或
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有
a的范围是（-2，-1）∪（-1，0）∪（
已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=0时，方程ax2-3x+2=0化为-3x+2=0，解集非空；
当a≠0时，要使A是空集，则△=（-3）2-8a＜0，解得a＞
∴使A是空集的a的取值范围是（
（2）当a=0，集合A中有一个元素；
当a≠0时，若A中有两个元素，则△=（-3）2-8a＞0，解得a＜
综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{0}∪[
解析
解：（1）当a=0时，方程ax2-3x+2=0化为-3x+2=0，解集非空；
当a≠0时，要使A是空集，则△=（-3）2-8a＜0，解得a＞
∴使A是空集的a的取值范围是（
（2）当a=0，集合A中有一个元素；
当a≠0时，若A中有两个元素，则△=（-3）2-8a＞0，解得a＜
综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{0}∪[
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