热门试卷

当无极值点

【错解分析】利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解．

【正解】令=0得．

（1）当即<0或>4时

有两个不同的实根,，

不妨设<，则，

易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点．

（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有>0，因此无极值．

（3）当△<0即0<<4时无实数根，

即，

故为增函数，此时无极值．

综上所述：当无极值点．

【点评】此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化

（1）甲    乙  （2）应投资36万元，最大利润34万元

本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题

（1）根据甲产品的利润与投资成正比，过（1.8，0.45），可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点（4，6），可得乙的函数关系式；

（2）设应给乙投资x万元，则给甲投资（100-x）万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润

（1）      （2）最大值为，最小值为 

（1）先求出导函数，然后利用极值的性质求出参数a和b；（2）先用导数法求出函数在给定区间内的单调区间，然后利用单调性求出函数的最值

1）由题意，      由在和处取得极值得   解得            ……7分

（2）由（1）知，故

由得或

在上当变化时，变化情况列表得

所以，当时，取得极大值 

又，

所以在上的最大值为，最小值为

解：由题意知：，则

∵在区间上是增函数，∴

即在区间上是恒成立，  

设，则，于是有

∴当时，在区间上是增函数

又当时， ，

在上，有，即时，在区间上是增函数

当时，显然在区间上不是增函数

∴

略

(1)的单调递减区间是，单调递增区间是. 极小值= (2) .

试题分析：(1).令，得；                    1分

列表如下

的单调递减区间是，单调递增区间是.                  4分

极小值=                                                  5分

(2) 设，由题意，对任意的，当时恒有，即在上是单调增函数.        7分

  8分

, 

令 

                                   10分

若，当时，，为上的单调递增函数，

,不等式成立.                                           11分

若，当时，，为上的单调递减函数，

，，与,矛盾             12分

所以，a的取值范围为.                                13分

点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．

（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为

试题分析：（1）函数的定义域为，.  

① 当时，，∵ ∴，∴ 函数单调递增区间为 

② 当时，令得，即，.

（ⅰ）当，即时，得，故，

∴ 函数的单调递增区间为.                     

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时， 

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴有极大值，其值为，其中.

∵，即， ∴.

设函数，则，

∴在上为增函数，又，则，

∴.  

即，结合解得，∴实数的取值范围为.

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．