变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：填空题

填空题

已知为定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为 .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

求过曲线上点且与过点的切线夹角最大的直线的方程。

正确答案

，∴，∴，又夹角的最大值为，∴所求直线的斜率为，又直线过点，∴，即。

题型：简答题

简答题

（本题满分14分）

已知，直线与函数的图象都相切于点．

（1）求直线的方程及的解析式；

（2）若（其中是的导函数），求函数的值域．

正确答案

（1）（2）

（1）直线是函数在点处的切线，故其斜率，

直线的方程为 …………………2分

又因为直线与的图象相切，且切于点，

在点的导函数值为1.

，∴ ……6分

（2） …………………7分

∴ …………………9分

当时，；当时， …………………11分

因此，当时，取得极大值，由于极值唯一，

∴函数的值域是 …………14分

题型：填空题

填空题

设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则的值为___________.

正确答案

试题分析：,切线斜率为，切线方程为，解得，

则，所以

题型：简答题

简答题

已知在处取到极小值.

（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；

（Ⅱ）若对恒成立,求实数的取值范围.

正确答案

单调递减区间为，单调递增为，

，

（1）；经检验合题意；单调递减区间为，单调递增为，

（2）由（1）可知，令，又

而，

；

题型：简答题

简答题

已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；

正确答案

，

由，故直线l的斜率为1，切点为

即（1，0） ∴ ① 又∵

∴ 即 ②

比较①和②的系数得

题型：简答题

简答题

已知同曲线，求与都相切的直线的方程。

正确答案

或

由得，由得。设直线与的切点为，与的切点为，根据已知得：，①+①整理得，整理得，∴，即，再代入可解得，∴直线过点和，因此所求直线的方程为：或。

题型：简答题

简答题

设，，其中为常数。

（1）计算曲线在点处的切线的斜率和切线方程；

（2）若函数的图象过点点，求的值；

（3）求函数的图象与中切线的交点。

正确答案

⑴在处的切线的斜率为，切线方程为，

⑵，⑶交点的坐标为和

(1)对，

，当无限趋近于时，无限趋近于，∴，∴，即在处的切线的斜率为，由得。

（2）∵过点，∴，∴。

（3）由得交点的坐标为和。

题型：填空题

填空题

已知则＿＿＿＿＿＿．

正确答案

F′(x)=2－

=(2t－2t)|=(2x－2x)－(2－2)=2x－2x，∴F′(x)=2－．

题型：简答题

简答题

设函数的定义域为（0，）.

(Ⅰ)求函数在上的最小值；

(Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)分类讨论函数的单调性

试题解析：(Ⅰ)，则时，；时，。

所以，函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数. 2分

当时，函数在[m，m+1]上是增函数,

此时；

当时，函数在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，

此时； 6分

(Ⅱ)证明：考察函数，

所以g(x)在()内是增函数，在()内是减函数.（结论1）

考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,

从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2） 10分

若，由结论1及，得，与矛盾；

若，由结论1及，得，与矛盾； 12分

若不妨设

由结论2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因为，所以，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，

所以>,即>2. 15分

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