变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：填空题

填空题

曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________

正确答案

函数的导数为，所以在的切线斜率为

，所以切线方程为，即.

题型：简答题

简答题

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=ex．

( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

正确答案

解：（Ⅰ），

．·················· 2分

∵且，

∴

∴函数的单调递增区间为．··············· 4分

（Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为,

即, 　　① ··················· 6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．··············· 8分

∴直线也为，

即， ②···················· 9分

由①②得，

∴．·························· 11分

下证：在区间（1，+）上存在且唯一.

由（Ⅰ）可知，在区间上递增．

又，，······ 13分

结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．

故结论成立．

略

题型：填空题

填空题

(理)若函数的图像在处的切线与圆相离，则点与圆的位置关系是　　　　　　　　　．

（文）已知函数在点处与直线相切，则双曲线的离心率等于　　　　　　　　．

正确答案

（理）点P在圆内；（文）

略

题型：简答题

简答题

比较函数与,当时,平均增长率的大小.

正确答案

当时, 的平均增长率大于的平均增长率

点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是

(1)计算自变量的改变量

(2)计算对应函数值的改变量

(3)计算平均增长率:

对于,又对于,

故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.

题型：简答题

简答题

如图所示，某农场要建个相同的矩形鱼池，每个面积为，鱼池前面要留宽的运料通道，其余各边为宽的堤埂，问：每个鱼池的长宽各多少米时，占地面积最少。

正确答案

当鱼池的长为，宽为时，占地面积最小。

设鱼池方向上宽为，则长为，，，所以养鱼池占地总面积为，则，令，解得（负值舍去），∵只有一个极值，∴当时，取得最小值，此时养鱼池的长为，即当鱼池的长为，宽为时，占地面积最小。

题型：简答题

简答题

(1），则（4分）

（2）由（1）知，则

①当时，，令或

，

在上的值域为（7分）

② 当时， a.若,则

b.若,则在上是单调减的

在上的值域为

c.若则在上是单调增的

在上的值域为（9分）

综上所述，当时，在的值域为

当时，在的值域为（10分）

当时，若时，在的值域为

若时，在的值域为（12分）

即当时，在的值域为

当时，在的值域为

正确答案

略

题型：填空题

填空题

若正实数满足，则的最小值是________.

正确答案

略

题型：填空题

填空题

曲线在点（0,2）处切线方程为

正确答案

x+y+2=0

略

题型：简答题

简答题

若函数在点处的切线方程为

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）若对于任意的，恒有成立，求实数的取值范围

正确答案

解：（1）因为，由题意，得

则，由题意

故 ……（4分）

（2）令，则

，

即的单调递增区间为 ………（8分）

（3）因为，又由（2）知函数在区间上为增函数

在上为减函数，

所以

又

由题意，解之得

故 …………（12分）

题型：简答题

简答题

判断函数

在处是否可导．

正确答案

在处不可导

，

而，

．

在处不可导．

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