热门试卷

(1)由已知可得f（x）=lnax，

当时，f（x）的定义域为；

当时，f（x）的定义域为

①时，，原不等式等价于：，

可得    ；

②当时，，原不等式等价于：，

可得 . 

（2）设图象上的切点坐标为 ，显然，

可得， 

     ，

可得h(x0)在（1，+∞）为增区间；（0,1）为减区间,  

所以没有实根，故不存在切线.   

（3）∵对x≥1恒成立，所以

∵，

令，

可得h（x）在区间上单调递减，

故，.得，f（x）=lnx.

令，，

而，即，

所以， =.     

解：（Ⅰ）求导函数，可得，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3

∴f（2）=3，f′（2）=0

∴，

∴或，

由于m，n∈Z，

所以，则．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x﹣1）+，定义域为（1，+∞），F′（x）=，

由于a＞0，令F′（x）=0，得

当x∈时，F′（x）＜0，知F（x）在x∈时单调递减，

同理，F（x）在x∈时单调递增

所以F（x）min=F=a﹣alna

令a﹣alna＜0，即a＞e时，函数F（x）=0有两个实数根

所以a的取值范围是（a，+∞）

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

，

因为f′（0）=4，所以a=2；

（Ⅱ）当a＜0时，因为，

所以f′（x）＜0，故f（x）在（-1，+∞）上是减函数；

当a=0时，当x∈（-1，0）时，，故f（x）在（-1，0）上是减函数，

当x∈（0，+∞）时，，故f（x）在（0，+∞）上是减函数，

因为函数f（x）在（-1，+∞）上连续，

所以f（x）在（-1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，由，得x=或x=，

x变化时，f′（x），f（x）的变化如情况下表：

所以f（x）在上为减函数、在上为减函数；f（x）在上为增函数；

综上，当a≤0时，f（x）在（-1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，f（x）在上为减函数、在上为减函数；f（x）在上为增函数。

解：（Ⅰ）由已知，，

故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；

（Ⅱ），

①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，

所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

②当a＜0时，由f′（x）=0，得，

在区间上，f′（x）＞0，在区间上，f′（x）＜0，

所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为。

（Ⅲ）由已知，转化为，，

由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；

(或者举出反例：存在，故不符合题意)

当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，

故f（x）的极大值即为最大值，，

所以，

解得。

解：（1）∵

∴f'（x）==，令f'（x）=0得，x=a，

①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，

当x∈（a，e）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，

所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．

②若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，

所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．

综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，

当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．

（2）不存在．证明如下，x∈（0，e]，

∴g'（x）=ex+（lnx﹣1）ex+1=（+lnx﹣1）ex+1

由（1）知，当a=1时，，

此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即，而ex＞0，

所以g'（x）≥1＞0，又曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直，等价于g'（x0）=0有实数根，而g'（x）＞0，

所以方程g'（x0）=0无实数根，x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．

解：（Ⅰ）求导得，

因，故方程f′（x）=0即有两根；

，

令f′（x）＞0，解得；

又令f′（x）＜0，解得，

故当时，f（x）是增函数；当时，f（x）是增函数；

但当时，f（x）是减函数；

（Ⅱ）易知，

因此，

所以，由已知条件得，

因此，

解得-6≤b≤2。

解：（Ⅰ）为偶函数，

故，即有，

解得b=0，

又曲线y=f（x）过点（2，5），

得，有c=1，

∵，

从而，

曲线y=g（x）有斜率为0的切线，

故有g′（x）=0有实数解，

即有实数解，

此时有；

所以实数a的取值范围：；

（Ⅱ）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，

故有g′（-1）=0，即3-2a+1=0，解得a=2，

又，

令g′（x）=0，得，

当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数；

当x∈时，g′（x）＜0，故g（x）在上为减函数；

当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数。

解：（Ⅰ）曲线在点（t，tlnt）处的切线斜率为y′=1+lnt，

设 A（m，0），B（0，n），

则，解得，

所以，

注意到时，1+lnt＞0，

故为所求；

（Ⅱ）记，则S′=g′（t）=，

，

∴时，S′＜0；时，S′＞0，

即函数S=g（t）在上单调递减，在上单调递增，

，

所以面积S的最小值为，当且仅当时取到；

（Ⅲ）由，及1+lnt＞0得，对t＞恒成立，

记u（t）=，则u′（t）=，

当，即a＜0或a≥e时，u′（t）＞0恒成立，

此时u（t）在上单调递增，

∴，解得a＜0或a≥2e2+2e，

当，即0＜a＜e时，u′（t）＞0，

所以函数u（t）在上单调递减，在上单调递增，

此时，

∴，此方程无解；

综上，a＜0或a≥2e2+2e为所求。

解：（1）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．

因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，

又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，

故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，

因此b=2a．

（2）由（1）得bc=2a（2a+3）=4（a+）2﹣，

故当a=﹣时，bc取得最小值﹣．

此时有b=﹣，c=．从而f（x）=﹣x2﹣x+，

f '（x）=﹣x﹣，g（x）=﹣f（x）ex=（x2+x﹣）ex，

所以g'（x）=﹣f'（x）ex+（﹣f（x））ex=（x2+4x）ex令g'（x）=0，解得x1=0，x2=﹣4．

当x∈（﹣∞，﹣4）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣4）上为增函数；

当x∈（﹣4，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣4，0）上为减函数．

当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．

由此可见，函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣4）和（0，+∞）；单调递增区间为（﹣4，0）．