- 变化率与导数
- 共3697题
如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为______．
正确答案
54
解析
解：∵质点按规律S=2t3运动，
∴s′=6t2
∵s′|t=3=6•32=54．
∴质点在3s时的瞬时速度为54．
故答案为：54．
已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为______．
正确答案
解析
解：设切点为（t，f（t））
由已知 
所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为 
令y=0，得A点的横坐标为xA=t（1-lnt），
令x=0，得B点的纵坐标为yB=1-lnt，
当t∈（0，e）时，xA＞0，yB＞0，
此时△AOB的面积 
解S‘＞0，得 
所以 
所以，当 
故答案为：
已知曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为-4，则a的值为（ ）
A
B-1
C
D不确定
正确答案
解析
解：由y=2ax2+1，得到y′=4ax，
因为曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为-4，
所以y′=4a=-4，
解得a=-1，
故选：B．
函数f（x）=x3-lnx在区间[1，e]上的平均变化率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵f（e）-f（1）=e3-1-1=e3-2，
∴函数在区间[1，e]上的平均变化率是
故选B
设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．
正确答案
解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|，x＞0，
当0＜x＜e时，f（x）=x2+1-lnx，
当x=e时，f（x）=x2，f‘（x）=2x，
当x＞e时，f（x）=x2+lnx-1，
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
（i）当
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当
f'（x）在
所以f（x）在区间
故当
且此时
（iii）当
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，ymin=f（e）=e2．
综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；
当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为
而
所以此时f（x）的最小值为
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为
解析
解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|，x＞0，
当0＜x＜e时，f（x）=x2+1-lnx，
当x=e时，f（x）=x2，f‘（x）=2x，
当x＞e时，f（x）=x2+lnx-1，
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
（i）当
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当
f'（x）在
所以f（x）在区间
故当
且此时
（iii）当
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，ymin=f（e）=e2．
综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；
当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为
而
所以此时f（x）的最小值为
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为
曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
则k=1，
从而tanα=1则α=
故倾斜角为
故选B
路灯距地面为6m，一个身高为1.8m的人以0.8m/s的速度从路灯的正底下，沿某直线离开路灯，人影长度S（m）随人从路灯的正底下离开路灯的时间t（s）的变化而变化，那么人影长度的变化速度v为______（m/s）．
正确答案
解析
解：设人经过时间ts后到达点B，这时影长为AB=S，
如图由平几的知识可得
∴S=
由导数的意义知人影长度的变化速度v=S′（t）=
故答案为：
若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
正确答案
解析
解：设切点P（x0，y0），
∵直线x+4y-8=0与直线l垂直，且直线x+4y-8=0的斜率为-
∴直线l的斜率为4，
即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，
令y′
利用点斜式，得到切线方程为4x-y-3=0．
故选：A．
路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
由直角三角形相似得 
解得 h=21t （m/min）=21t×
故选 D．
物体的运动位移方程是S=10t-t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t=2s的速度是（ ）
正确答案
解析
解：∵质点的运动方程为s=-t2+10t
∴s′=-2t+10
∴该质点在t=2秒的瞬时速度为|-2×2+10|=6．
故选B．
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