- 变化率与导数
- 共3697题
有一机器人的运动方程为s=t2+
正确答案
解析
解：∵S=t2+
∴s‘=2t-
当t=1时，v=s'=1
故选C．
已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x2-x）＞0的实数x的取值范围为（ ）
A（-1，1）
B
C
D
正确答案
解析
解：
f‘（x）=x^2+2cosx
知f（x）=（1/3）x^3+2sinx+c
f（0）=0，
知，c=0
即：f（x）=（1/3）x^3+2sinx
易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=x^2+2cosx在x∈（0，2】＞0恒成立
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（1+x）+f（x^2-x）＞0
f（1+x）＞-f（x^2-x）
即：f（1+x）＞f（x-x^2）
-2＜x+1＜2（保证有意义）
-2＜x^2-x＜2（保证有意义）
x+1＞x-x^2（单调性得到的）
解得即可
故答案为A
函数f（x）=x2+2x在区间[1，3]上的平均变化率为______．
正确答案
6
解析
解：∵f（3）=15，f（1）=3
∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为
故答案为：6
已知曲线f（x）=x3+x2+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2ax2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交截得的线段长度为______．
正确答案
4
解析
解：f′（x）=3x2+2x+1，∴f′（-1）=2，
∵f（-1）=2
∴切线方程为y-2=2（x+1），即y=2x+4，
与y=2ax2联立，可得2x+4=2ax2，即ax2-x-2=0，
∴△=1+8a=0
∴a=-
∴当y=-1时，x=±2，故所求线段长为4，
故答案为4．
f（x）=x3+x2+1在x=1处的切线斜率是（ ）
正确答案
解析
解：由导数的几何意义知，函数f（x）=x3+x2+1在x=1处的切线斜率为f‘（1）
又f'（x）=3x2+2x
当x=1时，f'（1）=3×1+2×1=5
∴函数f（x）=x3+x2+1在x=1处的切线斜率为5
故选D
若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+
正确答案
解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），
则
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由
消去y，可得ax2+
其中△=0，即（
解可得a=-
若k=
由
消去y可得ax2-3x-
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-
解析
解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），
则
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由
消去y，可得ax2+
其中△=0，即（
解可得a=-
若k=
由
消去y可得ax2-3x-
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-
已知曲线
A-2
B2
C
D1
正确答案
解析
解：∵曲线
∴y′1=
∵曲线
∴
解得x0=1，
故选D．
在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为______．
正确答案
（-2，15）
解析
解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02-10=2，
∴x02=4．
∴x0=-2，
∴y0=15．
∴P点的坐标为（-2，15）．
故答案为：（-2，15）
某物体的运动方程为s=3t2+t，那么，此物体在t=1时的瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵v=s′=6t+1，
∴此物体在t=1时的瞬时速度=6×1+1=7．
故选：D．
函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A10
B5
C-1
D
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，
∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，
又f（1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y-10=7（x-1），当y=0时，x=-
切线在x轴上的截距为-
故选D．
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