- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n-85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
解析
解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n-85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
若a，b∈[0，2]，函数f（x）=x2-2ax+b2有零点的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：函数f（x）=x2-2ax+b2有零点，则4a2-4b2≥0
即：
满足条件的区域如下图所示：
函数f（x）=x2-2ax+b2有零点的概率P=
故选A．
田忌和齐王赛马是历史上著名的故事．设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，三匹马各比赛一场，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优劣程度可用不等式a1＞b1＞a2＞b2＞a3＞b3表示．
（Ⅰ）如果双方均不知道比赛的对阵方式，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）田忌为了得到更大的获胜概率，预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应该怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？
正确答案
解：法一：记ai与bj的比赛为（ai，bj），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），（a2，b2）、（a2，b3）、
（a3，b2），（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），（a2，b1）、
（a1，b3）、（a3，b2），（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），
（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2）． （3分）
其中田忌获胜的只有一种（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），
所以田忌获胜的概率为
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马a1，若田忌第一场出上等马b1或中等马b2，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马a2，可能对阵情形是（a2，b1）、（a3，b2）或者（a2，b2）、（a3，b1），所以田忌获胜的概率为
②若齐王第二场派出下等马a3，可能对阵情形是（a3，b1）、（a2，b2）或者（a3，b2）、（a2，b1），所以田忌获胜的概率为
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
法二：各种对阵情况列成下列表格：
（Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为
（Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，
即只能是第五、第六两种情形． （9分）
其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
解析
解：法一：记ai与bj的比赛为（ai，bj），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（a1，b1）、（a2，b2）、（a3，b3），（a2，b2）、（a2，b3）、
（a3，b2），（a2，b1）、（a1，b2）、（a3，b3），（a2，b1）、
（a1，b3）、（a3，b2），（a3，b1）、（a1，b2）、（a2，b3），
（a3，b1）、（a1，b3）、（a2，b2）． （3分）
其中田忌获胜的只有一种（a2，b1）、（a1，b3）、（a3，b2），
所以田忌获胜的概率为
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马a1，若田忌第一场出上等马b1或中等马b2，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马a2，可能对阵情形是（a2，b1）、（a3，b2）或者（a2，b2）、（a3，b1），所以田忌获胜的概率为
②若齐王第二场派出下等马a3，可能对阵情形是（a3，b1）、（a2，b2）或者（a3，b2）、（a2，b1），所以田忌获胜的概率为
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
法二：各种对阵情况列成下列表格：
（Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为
（Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b3，
即只能是第五、第六两种情形． （9分）
其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，
所以田忌按b3，b1，b2或者b3，b2，b1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）甲总得分情况有（6分），（7分），（8分），（9分）四种可能，记ξ为甲总得分．
（2）甲总得分ξ的期望
E（ξ）=
解析
解：（1）甲总得分情况有（6分），（7分），（8分），（9分）四种可能，记ξ为甲总得分．
（2）甲总得分ξ的期望
E（ξ）=
甲、乙二名射箭运动员在某次测试中，两人的测试成绩如下表
（1）求m的值．
（2）用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．
（3）若运动员乙欲射中10环，预计将连续射击几发．
正确答案
解：（1）由题意，根据离散型随机变量的概率和为1，可得m=1-0.3-0.2-0.2=0.3
（2）甲的期望与方差分别为：Eξ1=2.1+1.6+1.8+3=8.5，Vξ1=1.52×0.3+0.52×0.2+0.52×0.2+1.52×0.3=1.45
乙的期望与方差分别为：Eξ2=1.4+2.4+2.7+2=8.5，Vξ2=1.52×0.2+0.52×0.3+0.52×0.3+1.52×0.2=2.4
∴甲较稳定；
（3）由于期望为8.5，要使运动员乙欲射中10环，预计将连续射击12发．
解析
解：（1）由题意，根据离散型随机变量的概率和为1，可得m=1-0.3-0.2-0.2=0.3
（2）甲的期望与方差分别为：Eξ1=2.1+1.6+1.8+3=8.5，Vξ1=1.52×0.3+0.52×0.2+0.52×0.2+1.52×0.3=1.45
乙的期望与方差分别为：Eξ2=1.4+2.4+2.7+2=8.5，Vξ2=1.52×0.2+0.52×0.3+0.52×0.3+1.52×0.2=2.4
∴甲较稳定；
（3）由于期望为8.5，要使运动员乙欲射中10环，预计将连续射击12发．
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