- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张．每张奖券中奖的概率为
（1）求ζ的所有可能取值；
（2）求ζ的分布列；
（3）求Eζ．
正确答案
解：（1）ζ的所有可能取值为3400，2400，1400，400．…（2分）
（2）
故ζ的分布列为：
（3）．…（12分）
解析
解：（1）ζ的所有可能取值为3400，2400，1400，400．…（2分）
（2）
故ζ的分布列为：
（3）．…（12分）
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；
（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．
正确答案
解：（1）小王过第一关但未过第二关的概率P1，则P1=
（2）x的取值为0，1000，3000，6000，则
P（X=0）=
P（X=3000）=
P（X=6000）=
∴X的概率分布列为
∴EX=0×+1000×+3000×+6000×=2160．
解析
解：（1）小王过第一关但未过第二关的概率P1，则P1=
（2）x的取值为0，1000，3000，6000，则
P（X=0）=
P（X=3000）=
P（X=6000）=
∴X的概率分布列为
∴EX=0×+1000×+3000×+6000×=2160．
（Ⅰ）从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
（Ⅱ）从甲班l0人中取两人，乙班l0人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
设事件“从每班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”为A．
则
∴P（A）=1-
（II）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（x=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列为
因此E（X）=
解析
解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
设事件“从每班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”为A．
则
∴P（A）=1-
（II）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（x=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列为
因此E（X）=
近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．
（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．
正确答案
解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …（1分）
=0.01+0.16+0.16=0.33． …（4分）
答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …（5分）
（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率
故低碳族的概率P=1-0.32=0.68．…（9分）
随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即
解析
解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …（1分）
=0.01+0.16+0.16=0.33． …（4分）
答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …（5分）
（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率
故低碳族的概率P=1-0.32=0.68．…（9分）
随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即
一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操 作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”
（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；
（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，
B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，
A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，
B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．
则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．
由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=
B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．
由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=
A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．
∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=
（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．
P（X=3）=
P（X=5）=
进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：
进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望
EX=
解析
解：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，
B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，
A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，
B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．
则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．
由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=
B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．
由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=
A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．
∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=
（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．
P（X=3）=
P（X=5）=
进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：
进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望
EX=
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